Математическое мышление

Публикуется с разрешения Taryn Fagerness Agency и Synopsis Literary Agency

Все права защищены.

Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.

Одна из моих бывших студенток из Стэнфордского университета работает учительницей четвертого класса в районе Нью-Йорка под названием Южный Бронкс. Там много учеников из числа нацменьшинств, не имеющих полноценного доступа к образованию и плохо успевающих в школе. Ученики моей знакомой сплошь считают, что у них нет способностей к математике. Если взглянуть на их успеваемость в прошлом,

может показаться, что это и правда так. Однако после года работы с этой учительницей ее класс стал лучшим четвертым классом в штате: 100 % учеников сдали тест по математике, причем 90 % получили высшие баллы. И это лишь один из множества примеров того, что все могут освоить математику.

Кто-то всерьез считает, что некоторые дети не способны заниматься математикой, что успеха в этой науке могут добиться только те, кого считают умными, или что детям, у которых не было надлежащих условий, слишком поздно изучать ее. Тогда вполне понятно, почему многие школьники плохо усваивают математику и ненавидят ее. Но мы обнаружили, что многие учителя даже утешают своих учеников и советуют им не беспокоиться о плохих оценках по математике, поскольку не каждому дано в ней преуспеть. Взрослые (и родители, и учителя) разрешают детям поставить крест на математике, едва те начнут изучать ее. Неудивительно, что многие игнорируют плохие оценки по этому предмету, заявляя: «Математика – это не мое».

Почему же родители, учителя и ученики порой думают, что математика – удел избранных? Результаты недавнего исследования показывают, что это очень расхожее мнение. Исследователи опросили ученых (из американских университетов), работающих в разных областях. Их попросили оценить, насколько успех в их области зависит от врожденных способностей и от тех, которые можно развить с помощью упорного труда, целеустремленности и накопления знаний. Из всех специалистов по естественным наукам именно математики особенно часто подчеркивали роль врожденных способностей (Leslie, Cimpian, Meyer, & Freeland, 2015). Другие исследователи обнаружили, что многие преподаватели математики начинают свои курсы с разделения учащихся на тех, у кого есть способности, и тех, у кого их нет. Один преподаватель колледжа в первый же день вводного курса и вовсе сказал: «Если вам сложно, значит, вам здесь не место» (Murphy, Garcia & Zirkel, неопубл.). Эта идея передается из поколения в поколение; неудивительно, что дети и подростки боятся математики. Неудивительно и то, что при первых же трудностях они решают, будто не созданы для математики.

Но появляются и доказательства того, что большинство учеников (возможно, почти все) способны преуспевать в математике и получать удовольствие от нее. Что же предпринять, чтобы ее изучение стало доступным для всех? Как помочь всем поверить в то, что математические способности можно развить, и показать учителям подход, который позволит воплотить эту убежденность в жизнь? Именно об этом пойдет речь в данной книге.

В этой уникальной, замечательной книге Джо Боулер – опытный и глубоко эрудированный специалист – покажет учителям, как описывать математическую работу, структурировать математические задачи, направлять учеников в процессе решения задач и обеспечивать обратную связь, чтобы помочь им сформировать мышление роста и сохранить его навсегда. Джо из тех редких выдающихся педагогов, которые не только знают секрет эффективного преподавания, но и могут поделиться им. У Джо учились тысячи преподавателей. И вот что они говорят.

В школьные годы… меня не покидало ощущение, что я ноль в математике… Не могу описать словами облегчение, которое я испытываю сейчас благодаря тому, что могу не только сам изучать математику, но и объяснить своим ученикам, что им это тоже под силу.

Вы помогли мне поразмышлять над переходом к стандартам Common Core [1] , а также над тем, как помочь ученикам развить любовь и интерес к математике.

Я искала метод изучения математики, который изменил бы отношение учеников с неприязни на удовольствие… это именно то, что было мне необходимо.

Представьте себе, как ваши ученики с удовольствием погружаются в решение поистине сложных математических задач. Представьте,

как они просят обсудить их ошибки перед всем классом. Представьте, как они говорят: «У меня есть способности к математике!» Эта «утопия» реализуется на практике в учебных классах по всему миру. Если вы последуете представленным в данной книге рекомендациям, то и в вашем классе это вполне может произойти.

Кэрол Дуэк,профессор психологиии автор книги «Гибкое сознание» [2]

Я хорошо помню тот осенний день, когда я сидела в кабинете декана в ожидании встречи, которая оказалась очень важной. Накануне я вернулась в Стэнфордский университет из Англии, где работала профессором математики как стипендиат Фонда имени Марии Кюри. Я привыкала к переходу от серого облачного неба, которое было моим неизменным спутником на протяжении трех лет пребывания на побережье Сассекса в Англии, к солнечному свету, почти всегда заливавшему кампус Стэнфорда. В тот день я вошла в кабинет декана с предвкушением: мне предстояло впервые встретиться с Кэрол Дуэк. Я немного волновалась перед встречей со знаменитым исследователем, книги которого коренным образом изменили жизнь людей на разных континентах и работа которого побудила правительства, школы, родителей и даже ведущие спортивные команды изменить подход к жизни и обучению.

Кэрол и члены ее исследовательской команды много лет собирали данные, подтверждавшие очевидное: у каждого человека свой тип мышления, внутреннее убеждение по поводу обучения (Dweck, 2006b). Люди с мышлением роста (установкой на рост) считают, что умственные способности можно развить упорным трудом, а люди с фиксированным мышлением (установкой на данность) убеждены, что можно что-то изучить, но нельзя изменить базовый уровень интеллекта. Тип мышления крайне важен: результаты исследований свидетельствуют, что от него зависит поведение людей в процессе обучения, а также их результаты. Когда ученики меняют установки и начинают верить, что могут подняться на более высокий уровень, они меняют путь обучения (Blackwell, Trzesniewski, & Dweck, 2007) и добиваются более высоких результатов.

В тот день я спросила Кэрол, хотела бы она поработать с учителями математики и учениками. Ведь иногда очень полезно воздействовать на мышление учеников, а учителя имеют такую возможность постоянно. Кэрол была воодушевлена и подтвердила, что математика – предмет, который больше всего нуждается в изменении мышления. Это была первая из множества наших приятных бесед; в следующие четыре года мы много работали вместе. Сейчас мы трудимся над совместными исследовательскими проектами с участием учителей, знакомим их со своими идеями и результатами исследований в рамках семинаров. Исследования мышления и математики, которыми я занималась в последние годы, помогли мне в полной мере понять необходимость развития мышления учеников в контексте математики, а не в целом. Ученики зачастую так не любят этот предмет, что у них формируются установки на рост в отношении чего угодно, но только не математики. Чтобы изменить такие губительные убеждения, ученикам необходимо развить математическое мышление. И эта книга научит вас, как помочь им.

Свойственное многим людям фиксированное мышление в отношении математики в сочетании с другими негативными представлениями о ней ведет к губительным последствиям. Именно поэтому я хочу поделиться в этой книге новыми идеями о математике и обучении. Не так давно я высказала некоторые из них во время онлайн-курса для учителей и родителей (курсы такого типа называют MOOC [3] ), и результаты превзошли все мои ожидания (Stanford Center for Professional Development, без даты).