Математическое мышление

Боулер Джо

На курс записались более сорока тысяч слушателей, среди которых были учителя всех классов и родители. В конце курса 95 % присутствовавших заявили, что благодаря новым знаниям изменят свои методы преподавания или помощи своим детям. Более 65 % слушателей решили продолжить обучение (обычно на таких курсах остаются процентов пять).

Прочтя отзывы всех участников, я поняла, что математика для многих оказалась психологической травмой и что эту травму подпитывают ошибочные убеждения по поводу самой науки и своих умственных способностей. В сложности математики убеждены многие.

Впервые о травмирующем воздействии математики я узнала после публикации моей первой книги для родителей и учителей под названием «При чем здесь математика» в США и «Слон в классной комнате» в Великобритании (Boaler, 2015a). В ней подробно описаны изменения, которые необходимо внести в методы преподавания и воспитания, чтобы сделать математику более увлекательной и доступной. После выхода этого пособия меня начали приглашать на многочисленные радиошоу по обе стороны Атлантики,

чтобы обсудить тему изучения математики. Это были разные программы: от утренних шоу до серьезного обсуждения с весьма вдумчивым ведущим PBS и короткого выступления во время популярного британского радиошоу под названием «Час женщин». Беседы с радиоведущими – крайне интересный опыт. Сначала я всегда рассказывала об изменениях, которые нам нужны, подчеркивая, что математика травмирует многих. Это как будто помогало ведущим расслабиться, открыться и поделиться своими историями о том же самом. Многие интервью превращались в подобие сеансов психотерапии: очень квалифицированные и компетентные специалисты говорили о своих страданиях при изучении математики, причиной которых обычно было то, что сказал или сделал учитель. Я до сих пор помню, как Китти Данн из Висконсина рассказала, что название учебника по алгебре навсегда связалось у нее с негативными эмоциями. Радиоведущая BBC Джейн Гарви (поразительная женщина, которой я восхищаюсь) поведала, что боялась брать у меня интервью и что она уже рассказала двум дочерям о своей ужасной успеваемости по математике в школе (а этого ни в коем случае нельзя делать – но об этом чуть позже). Такая сила негативных эмоций по поводу математики не редкость. Эта дисциплина больше, чем любая другая, сокрушает дух учеников так, что даже взрослыми они не могут забыть свои неудачи. Многие ученики решают, что не способны усвоить математику, и питают отвращение к ней на всю жизнь.

И это проблема не только гуманитариев. Мне довелось встретиться с Вивьен Перри. Вивьен – ведущий ученый Англии; не так давно она получила звание офицера ордена Британской империи – самую высокую награду, которую вручает королева. У Вивьен длинный список достижений, в частности работа на посту вице-председателя совета Университетского колледжа Лондона, члена Совета по исследованиям в области медицины, а также ведущей научных телевизионных программ BBC. При всем этом она открыто, во всеуслышание говорит о своем парализующем страхе перед математикой. По словам Вивьен, она даже не может вычислить проценты, когда ей необходимо заполнить налоговые декларации. За несколько месяцев до отъезда из Великобритании и возвращения в Стэнфордский университет я должна была прочесть доклад в Королевском институте в Лондоне. Это огромная честь – выступать в одном из старейших и самых уважаемых британских институтов, поставившем перед собой достойную цель приобщения широкого круга людей к науке. Рождественские лекции, начало которым положил в 1825 году Майкл Фарадей, проводятся в Великобритании каждый год и транслируются по телевидению. Лекции читают выдающиеся ученые, рассказывая о своей работе широкой публике. Я попросила Вивьен представить меня в Королевском институте. И она рассказала присутствующим, как в детстве учительница математики миссис Гласс поставила ее в угол за то, что она не смогла повторить наизусть таблицу умножения на семь. Затем Вивьен рассмешила собравшихся, упомянув, что, когда она поделилась этой историей на BBC, шесть человек позвонили и спросили, не идет ли речь о школе Хоксбери. Вивьен подтвердила их догадку.

К счастью, такие жесткие методы преподавания больше почти не применяются. Меня всегда вдохновляет самоотверженность и ответственность большинства учителей математики, с которыми я работаю. Но многие ученики продолжают терять энтузиазм. Процесс в любой момент можно обратить вспять, но ученики по-прежнему получают много косвенных сигналов по поводу своих способностей: в контексте вопросов, над которыми они работают на уроках, обратной связи, способов деления на группы и прочее.

Вивьен убеждена, что страдает заболеванием мозга под названием дискалькулия. Но мы уже знаем, что единичное событие или единичный сигнал может изменить все в жизни (Cohen & Garcia, 2014). Вероятно, именно негативный опыт в математике лежит в основе тревоги, с которой она борется теперь каждый день. К счастью, Вивьен добилась успеха (даже в области точных наук). Однако большинству людей повезло меньше, и губительный опыт неудач, который они получили в раннем возрасте, закрыл для них многие двери на всю оставшуюся жизнь.

Изучать математику очень важно. Результаты научных исследований свидетельствуют: чем больше математических дисциплин изучают дети, тем выше их заработок через десять лет после окончания средней школы; причем «продвинутые» курсы обеспечивают повышение заработной платы на 19,5 % (Rose & Betts, 2004). В ходе этих исследований было установлено, что те, кто изучал высшую математику, осваивают разные методы работы и мышления, повышающие их эффективность. Ученики, изучающие сложные математические дисциплины, лучше ориентируются в математических ситуациях; на работе их продвигают на более ответственные и высокооплачиваемые должности по сравнению с теми, кто не изучал математику на таком уровне (Rose & Betts, 2004). Во время исследования в английских школах я выяснила, что такие ученики получают повышение и более высокооплачиваемую работу, потому что в средней школе они изучали математику в рамках проектно-ориентированного подхода (Boaler, 2005).

Есть много книг, посвященных

тому, как преодолеть страх математики (Tobias, 1978). Но негативное отношение к этой дисциплине объясняется не только пагубными методами преподавания. Существует очень мощная идея: якобы не все могут добиться успеха в этой науке, она «дар» для избранных.

Откуда же пошла эта губительная идея? Уж точно не из стран типа Японии, занимающих первые места в мире по уровню знания математики. Две мои дочери на момент написания книги учились в третьем и шестом классах средней школы в Калифорнии. И я имею сомнительное удовольствие регулярно просматривать телепередачи для подростков. Весьма познавательно (и тревожно): не проходит ни дня, чтобы математику не подавали там в негативном свете. О ней говорят как о трудном, неинтересном и недоступном предмете, который предназначен только для «заучек», а не для неординарных, интересных людей. И уж точно она не для девочек. Неудивительно, что многие школьники теряют интерес к этому предмету и считают, что не могут успешно освоить его.

Мысль о том, что математика доступна только избранным, глубоко укоренилась в психике большинства. Причем против других дисциплин таких предубеждений нет. Многие скажут, что математика выделяется на общем фоне, поскольку в ней ответы могут быть только правильными и неправильными. Но это ошибка. В математике есть место творчеству и интерпретациям. Это широкая и многоплановая дисциплина, которая требует логических рассуждений, изобретательности, установления связей и интерпретации методов. Это совокупность идей, позволяющих пролить свет на устройство мира. Это наука, которая постоянно меняется. К любой математической задаче можно подойти разными способами, и воспринимать математику тоже можно по-разному. Когда произойдут перемены, люди начнут интересоваться математикой и любить ее.

Вот еще одна распространенная ошибка: якобы заниматься математикой могут только самые умные. И поэтому неудачи в этой области оказывают на учеников особенно тягостное воздействие: они приходят к выводу, что глупы и не способны добиться серьезного успеха в жизни. Нужно развеять этот миф.

Пока я писала книгу, появились первые знаки того, что мир начинает ценить и понимать важность гибкого мышления. Книга Кэрол Дуэк переведена более чем на 20 языков (Дуэк, 2013), интерес к теме мышления растет. И идеи Кэрол распространяются на восприятие математики. Преподаватели этой дисциплины и родители, занимающиеся с детьми дома, могут радикально изменить представления, опыт и шансы учеников, если применят к изучению математики подход, основанный на мышлении роста. Общее воздействие на установки поможет изменить мышление. Но стоит лишь вернуться к прежним методам, и установка роста постепенно утратит свою силу. Я говорю преподавателям и родителям, я подчеркиваю и в этой книге: нужно сосредоточиться на математических вопросах и заданиях, над которыми работают ученики. Я опишу методы поощрения и оценки учеников, способы разделения на группы в классах, методы работы над ошибками, правила работы на уроке, сигналы в отношении математики, которые мы можем подавать ученикам, и стратегии ее изучения, которые легко освоить, – в общем, все аспекты преподавания и изучения этого предмета. Я рада поделиться своими идеями и убеждена, что они помогут вам и всем, с кем вы занимаетесь математикой.

В главе 1 представлены интересные и важные идеи, рожденные в рамках исследований за последние годы. Далее основное внимание уделяется стратегиям, которые можно использовать на уроках математики и дома, чтобы реализовать на практике идеи первых двух глав. Я настоятельно рекомендую прочесть все главы: переход непосредственно к стратегиям не принесет пользы без глубокого понимания базовых идей.

За несколько месяцев после того, как состоялся мой онлайн-курс MOOC для учителей и родителей, я получила тысячи бумажных и электронных писем и других сообщений. Люди рассказывали, что они изменили на уроках и дома и как это повлияло на учеников. Небольшие вроде бы перемены в преподавании и воспитании способны изменить отношение детей к математике: ведь новые знания о головном мозге, мышлении и изучении этого предмета поистине революционны. В этой книге идет речь о формировании математического мышления в рамках нового подхода к преподаванию и воспитанию, суть которого сводится к развитию, инновациям, творчеству и реализации математического потенциала. Спасибо, что присоединились ко мне и встали на путь, который навсегда изменит ваши отношения и отношения ваших учеников с математикой.

Глава 1. Мозг и изучение математики

За прошедшее десятилетие появилось множество технологий, которые обеспечили новые возможности изучения функций разума и мозга. Сейчас ученые могут наблюдать, как дети и взрослые работают над решением математических задач, и регистрировать активность их головного мозга; отслеживать процесс его роста и дегенерации, а также влияние различных эмоциональных состояний на его активность. В последние годы сформировалась область исследований, которая изучает так называемую пластичность мозга. Результаты в этой области поразили ученых. Раньше считалось, что мозг, данный человеку от рождения, нельзя изменить, но теперь эта гипотеза решительно опровергнута. Многие исследования продемонстрировали невероятную способность головного мозга расти и меняться за достаточно короткий период (Abiola & Dhindsa, 2011; Maguire, Woollett, & Spiers, 2006; Woollett & Maguire, 2011).