Математика для любознательных

Перельман Яков Исидорович

Если вы никогда не задумывались над такой задачей, то можно поручиться, что, не проделав вычисления, - вы дадите грубо ошибочный ответ. Мало того: вы будете, пожалуй, даже оспаривать правильный ответ - настолько покажется он неправдоподобным. Каков же он?

Решение

Оказывается, что волос, увеличенный по толщине в миллион раз, имел бы около сотни метров в поперечнике! Это кажется невероятным, но дайте себе труд сделать подсчет, и вы убедитесь, что так и есть: 0,1 мм х 1000000 = 0,1 м х 1000 = 0,1 км = 100 м [85] .

85

Мы проделали здесь умножение несколько

необычным путем - вместо умножения числа только дважды заменили самую единицу меры другою, в тысячу раз большею. Этот прием очень удобен для устных подсчетов, и им следует пользоваться при выкладках с метрическими мерами.

Упражнения с миллионом

Проделайте - попытайтесь выполнить это устно - еще ряд упражнений, чтобы освоиться надлежащим образом с величиною миллиона.

Задача № 60

Величина обыкновенной комнатной мухи общеизвестна - около 7 мм в длину. Но какова была бы ее длина при увеличении в миллион раз?

Решение

Умножим 7 мм на 1000000, получим 7 км - примерно ширина Москвы или Ленинграда. С трудом верится, что муха или комар, увеличенные по длине в миллион раз, могли бы покрыть своим телом столичный город!

Задача № 61

Увеличьте мысленно в миллион раз (по ширине) ваши карманные часы, - и получите снова поражающий результат, который едва ли вам удастся предугадать. Какой?

Решение

Часы имели бы в ширину километров 50, а каждая цифра простиралась бы на целую географическую милю (7 км).

Задача № 62

Какой высоты достигал бы человек в миллион раз выше обычного роста?

Решение

1700 километров. Он был бы всего в 8 раз меньше поперечника земного шара. Буквально одним шагом мог бы он перешагнуть из Ленинграда в Москву, а если бы лег, то растянулся бы от Ленинграда до Крыма…

Приведу еще несколько готовых подсчетов того же рода, предоставляя проверку их читателю.

Сделав миллион шагов по одному направлению, вы отошли бы км на 600. От Москвы до Ленинграда примерно и будет миллион шагов.

Миллион человек, выстроенных в одну шеренгу плечом к плечу, растянулись бы на 250 км.

Миллионом стаканов воды можно наполнить 200 огромных бочек.

Миллион точек типографского шрифта, - например этой книги, - поставленные рядом, вплотную, растянулись бы метров на 50-100.

Зачерпывая миллион раз наперстком, вы вычерпаете около тонны жидкости (в 80-ведерную бочку).

Книга в миллион страниц имела бы в толщину метров 50.

Миллион букв заключает книга убористой печати в 600-800 страниц среднего формата.

Миллион дней - более 27 столетий. От начала нашей эры не прошло еще миллиона дней!

Названия числовых великанов

Прежде чем перейти к еще большим числовым гигантам - миллиардам, биллионам, триллионам и т. д.
– остановимся немного на их названиях. Слово «миллион» понимается всеми одинаково: тысяча тысяч. Но слова биллион, триллион и т. д. сравнительно не так давно придуманы и еще не получили единообразного значения. При финансовых расчетах и в житейском обиходе принято у нас называть «биллионом» тысячу миллионов, а «триллионом» - миллион миллионов. Но в книгах по астрономии и физике вы встречаете эти названия в другом значении: биллион означает здесь не тысячу, а миллион миллионов, триллион - миллион миллионов миллионов, квадрильон - миллион миллионов миллионов миллионов, и т. д. Короче говоря: в научных книгах каждое новое высшее наименование принято давать миллиону низших, а в финансовых расчетах и в обиходе - тысяче низших.

Приведенная здесь табличка наглядно показывает это различие:

Вы видите, что физик называет биллионом то, что

финансист называет триллионом, и т. д., так что, во избежание недоразумений, следует наименование всегда сопровождать цифрами. Это, пожалуй, единственный случай в практике, когда обозначение суммы прописью затемняет, а не поясняет написанное цифрами. Вы видите также, что астрономы и физики гораздо экономнее пользуются новыми названиями, чем финансисты, которым, впрочем, нет основания особенно скупиться в этом отношении, так как им почти не приходится иметь дело более чем с 12-значными числами; в науке же 20-значные числа - нередкие гости [86] .

86

Надо заметить, впрочем, что обычные цифровые обозначения весьма больших чисел и их названия употребляются лишь в популярно-научных книгах; в книгах же строго научных по физике и астрономии пользуются обыкновенно иным способом обозначения: биллион обозначается 10¹², триллион 10¹⁸, двадцать семь тысяч биллионов - 27 x 10¹⁵ и т. д. При таком способе обозначения сберегается место и, кроме того, гораздо легче производить над числами различные действия (по правилам, изучаемым в алгебре).

Миллиард

Слово «миллиард» употребляется у нас в смысле тысячи миллионов и при денежных вычислениях, и в точных науках. Но, например, в Германии и в Америке под миллиардом иногда разумеют не тысячу, а всего сто миллионов. Этим, между прочим, можно объяснить то, что слово «миллиардер» было в ходу за океаном еще тогда, когда ни один из тамошних богачей не имел состояния в тысячу миллионов. Огромное состояние Рокфеллера незадолго до войны исчислялось «всего» 900 миллионов долларов, а остальных «миллиардеров» - меньшими числами. Только во время войны появились в Америке миллиардеры в нашем смысле слова (их иногда называют на родине «биллионерами»).

Чтобы составить себе представление об огромности миллиарда, подумайте о том, что в книжке, которую вы сейчас читаете, заключается немногим более 200.000 букв. В пяти таких книжках окажется один миллион букв. А миллиард букв будет заключать в себе стопка из 5.000 экземпляров этой книжки - стопка, которая, будучи аккуратно сложена, составила бы столб высотой с Исакиевский собор.

Миллиард секунд часы отобьют более чем в 30 лет (точнее в 31,7лет). А миллиард минут составляет более 19 столетий; человечество всего двадцать четыре года назад [87] (29 апреля 1902 года в 10 часов 40 мин.) начало считать второй миллиард минут от первого дня нашего летосчисления.

87

Книга написана в 1926 г.
– Прим. изд .

Биллион и триллион

Ощутить огромность этих числовых исполинов трудно даже человеку, опытному в обращении с миллионами. Великан-миллион - такой же карлик рядом со сверх-великаном биллионом, как единица рядом с миллионом. Об этом взаимоотношении мы обыкновенно забываем и не делаем в своем воображении большой разницы между миллионом, биллионом и триллионом. Мы уподобляемся здесь тем первобытным народам, которые умеют считать только до 2 или до 3, а все числа свыше их одинаково обозначают словом много. «Подобно тому, как ботокудам [88] кажется несущественной разница между двумя и тремя, - говорит известный германский математик проф. Г. Шуберт, - так и многим современным культурным людям представляется несущественной разница между биллионом и триллионом. По крайней мере, они не думают о том, что одно из этих чисел в миллион раз больше другого и что, значит, первое относится ко второму приблизительно так, как расстояние от Берлина до Сан-Франциско относится к ширине улицы».

88

Ботокуды - народность общей численностью 2 тыс. чел., проживающая на территории Бразилии.
– Прим. изд.