Математика. Утрата определенности.
Шрифт:
Математике доступны лишь наиболее простые проблемы физического мира, но именно в ней эти проблемы находят полное решение. Вера в могущество человека отчасти зиждется на той силе, которой наделяет его математика — она помогает человеку покорять природу и тем облегчает его ношу. Одержанными математикой победами человек может по праву гордиться.
Вопрос о том, почему математика столь эффективна, представляет не только чисто академический интерес. Если мы используем математику в технике, то в какой степени можно полагаться на нее в расчетах и проектах? Можно ли спроектировать мост с помощью теории, опирающейся на бесконечные множества или аксиому выбора? Не обрушится ли такой мост? К счастью, инженерные проекты обычно основаны на применении теорем, столь надежно подкрепленных накопленным ранее опытом, что их использование не вызывает сомнений. Многие инженерные проекты умышленно предусматривают большой запас прочности. Например, при строительстве мостов используются такие материалы, как сталь, хотя прочность материалов нам не известна досконально. Чтобы компенсировать возможные неточности,
183
Разумеется, ненадежность здесь может быть связана, скажем, с неполным знанием начальных условий фигурирующего в решении задачи дифференциального уравнения или в неопределенности коэффициентов уравнения (связанных с физическими характеристиками сооружения), но никак не с теми относящимися и основам математики полуфилософскими трудностями, которым посвящены гл. IX-XII.
В этой главе мы поставили перед собой задачу попытаться наметить какой-то выход из того затруднительного положения, в котором оказались математика и ее «жрецы». Единой, общепринятой математики не существует, поэтому мы не стали бы рекомендовать в качестве возможного выхода перебор множества различных путей, отстаиваемых теми или иными группами: избрать такой «лобовой» подход к решению проблемы означало бы воспрепятствовать достижению главной цели математики — способствовать прогрессу науки. Именно этой высокой целью мы и рекомендовали бы воспользоваться как эталоном. Здесь мы достаточно подробно обсудили связанные с этим проблемы и спорные вопросы.
Но хотя акцент на приложениях к естественным наукам представляется наиболее разумным курсом дальнейшего развития математики, эта программа отнюдь не исключает и другие заслуживающие внимания и вполне разумные цели в рамках самой математики. Мы отмечали (гл. XIII), что развитие прикладной математики требует основательной и разнообразной поддержки: абстракции, обобщения, строгого обоснования и усовершенствования существующих методов. Кроме того, вполне оправдана деятельность в области оснований математики, не дающая прямого выхода в математику, но доказавшая свою полезность в процессе естественнонаучных исследований. Конструктивистская программа интуиционистов, хотя те исходили из намерения заменить лишенные смысла чистые теоремы существования, приводит к методам вычисления величин, о которых чистые теоремы существования сообщают нам лишь то, что эти теоремы существуют. Приведем один старый пример. Евклид доказал, что отношение площади круга к квадрату его радиуса одинаково для всех кругов (это отношение обычно обозначается греческой буквой ). Тем самым Евклид доказал чистую теорему существования. Но если мы хотим вычислить площадь какого-нибудь круга, то для этого нам необходимо знать, чему равно . К счастью, приближенный метод вычисления , предложенный Архимедом, и некоторые разложения в ряды, полученные впоследствии, позволили найти задолго до того, как интуиционисты бросили вызов чистым теоремам существования. Разумеется, возможность вычисления числа необычайно важна. Аналогично возникает необходимость и в вычислении других величин, относительно которых пока доказано лишь то, что они существуют. Следовательно, конструктивистская программа вполне заслуживает внимания.
Однако исследования в области оснований математики ценны и тем, что открывают потенциальную возможность прийти к какому-нибудь противоречию. Непротиворечивость математики не доказана, и открытие противоречия или заведомо абсурдной теоремы позволило бы по крайней мере раз и навсегда разрешить эту проблему, которая поглощает сегодня немало времени и энергии некоторых математиков.
Наш обзор современного состояния математики вряд ли может пробудить чувство успокоенности. Математика лишилась своей истинности. Ныне она уже не является независимой, абсолютно надежной и прочно обоснованной областью знаний. Большинство математиков заявили о своей преданности естествознанию — акт похвальный в любой период истории, но особенно в тот момент, когда естественнонаучные приложения могут сыграть роль путеводной нити в поиске разумного направления в развитии математики. Замечательная точность и эффективность математики в описании реального мира по-прежнему ждут своего объяснения.
Несмотря на все свои недостатки и ограниченные возможности, математике есть чем гордиться. Она была и остается высшим интеллектуальным достижением и наиболее оригинальным творением человеческого духа. Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись — радовать глаз, поэзия — пробуждать чувства, философия — удовлетворять потребности разума, инженерное дело — совершенствовать материальную сторону жизни людей. Но математика способна достичь всех этих целей. Если же говорить о возможностях человеческого разума, то математики немало потрудились, чтобы доказать, сколь высокую надежность результатов способен обеспечить человеческий разум. Не случайно математическая точность вошла в поговорку. Математика по-прежнему остается эталоном самого надежного и точного знания, которого мы только в состоянии достичь.
Все свершения математики — это свершения человеческого
Математика таит в себе ценности не меньше, чем любое другое творение человеческого духа. Ценности эти нелегко воспринимаются, им не всегда воздают должное, но, к счастью, ими пользуются. Познать их труднее, чем, скажем, ценности музыки, однако того, кто сумеет преодолеть нелегкий путь познания, ждет богатое вознаграждение; в этих ценностях сосредоточено все, что отличает лучшие творения человеческого духа. Ценности, воплощенные в математике, поистине неисчерпаемы; единственный вопрос, который может здесь возникнуть, — это вопрос о степени их важности. На этот вопрос каждый сам должен найти ответ, так как многое зависит от индивидуальных суждений, мнений и вкусов.
Математика — это высокий образец достоверного знания, идеал определенности, к которому мы будем стремиться и впредь, даже если он и недостижим. Достоверность вполне может оказаться не более чем призраком, манящим и все время ускользающим. Но идеалы, даже недостижимые, обладают притягательной силой и ценностью. Справедливость, равноправие или бог — идеалы. Правда, во имя бога люди убивали себе подобных, а справедливость далеко не всегда торжествует. И все же эти идеалы представляют собой главный итог многовекового развития цивилизации. Так обстоит дело и с математикой, даже если она всего лишь остается идеалом. Возможно, созерцание идеала позволяет нам с большей уверенностью выбирать направление, которым необходимо следовать для достижения истины.
Человек — песчинка в мироздании. Мы странники в бескрайних просторах Вселенной, беспомощные перед разгулом природных стихий, зависящие от них и в получении пищи, и в удовлетворении других потребностей. Человек взирает на загадочную, быстро меняющуюся, бесконечную Вселенную смущенный, озадаченный и даже испуганный собственной незначительностью. Как сказал Паскаль {184} ,
…ибо что такое человек во Вселенной? Небытие в сравнении с бесконечностью, все сущее в сравнении с небытием, среднее между всем и ничем. Он не в силах даже приблизиться к пониманию этих крайностей — конца мироздания и его начала, неприступных, скрытых от людского взора непроницаемой тайной, и равно не может постичь небытие, из которого возник, и бесконечность, в которой растворяется.
184
Паскаль писал эти слова в XVII в. В настоящее время физика смело излагает свои позиций в вопросе о поведении Вселенной в ближайшей окрестности (во времени превышающей всего лишь величину порядка 10 – 33с) так называемого Большого взрыва, от которого астрофизики датируют существование Вселенной с привычным нам «пространством-временем» (ср., например, книги [135] или статью [136]); будущее Вселенной астрофизики также прогнозируют в очень больших пределах времени — почти до ее (гипотетического) «конца».
Монтень и Гоббс, по существу, утверждали то же, только иными словами. Человек одинок и слаб, а век его короток. Он жертва непредвиденного стечения обстоятельств.
Наделенный органами чувств, возможности которых весьма ограниченны, и рассудком, позволяющим анализировать воспринимаемую органами чувств информацию, человек начал проникать в окружающие его тайны природы. Используя данные непосредственного наблюдения или результаты специально поставленных экспериментов, он сформулировал определенные аксиомы и воспользовался своей способностью мыслить. Он стремился во всем найти порядок. Целью человека было построить систему знаний, способную противостоять мимолетной смене ощущений и послужить основой для познания — и покорения — окружающего мира. Один из значительных итогов его деятельности, продукт его разума — математика. Наша наука не идеальный алмаз — возможно, даже постоянная полировка не позволит ей избавиться от всех изъянов, Тем не менее математика была и остается самой надежной нашей связью с миром чувственного восприятия, и, хотя мы знаем, что она лишена прочных оснований (что не может не вселять в нас тревогу), она тем не менее по-прежнему является драгоценнейшим украшением нашей интеллектуальной жизни, которое следует беречь. Математика по праву занимает свое высокое место в сокровищнице человеческого разума и, несомненно, останется там, даже если более детальные исследования обнаружат в ней новые изъяны. {185} Алфред Норт Уайтхед некогда сказал: «Нельзя не признать, что занятие математикой — ниспосланное богами безумие человеческого духа». Безумие? Вполне возможно — но, несомненно, ниспосланное богами.
185
Ср. с принадлежащей Г. Вейлю (в статье «Место Феликгеа Клейна в математической современности», 1930) характеризацией той роли, какую играет математика в человеческой культуре ([124], с. 11). [Названная статья намечена к публикации в подготавливаемом издательством «Наука» сборнике научных статей Вейля и в сборнике его научно-популярных статей.]