Мечта об идеальной карте. Картография и математика
Шрифт:
* * *
Другие равновеликие проекции — это равновеликая коническая проекция Альберса (1805), проекция Моллвейде (1805), ортографическая проекция Галла — Петерса (1855 и 1967), проекция Eckert IV (1906), равновеликая азимутальная проекция Ламберта (1772), синусоидальная проекция, или проекция Сансона — Флемстида (1650 и 1729), и многие другие.
В 1906 году немецкий картограф Макс Эккерт описал шесть псевдоцилиндрических проекций. Четные номера имеют равновеликие проекции, например проекция Eckert IV, представленная на иллюстрации.
К
Карта Британской империи 1907 года.
В Российской империи и позднее в Советском Союзе карты мира также часто составлялись в проекции Меркатора, так как на них Россия выглядела преувеличенно большой. Некоторые политические партии, предупреждавшие об опасности красной угрозы, то есть установления коммунизма во всем мире, также использовали карты в этой проекции, на которых СССР и Китай были выделены агрессивным ярко-красным цветом. В Европе и США аналогично использовались карты, выгодно представлявшие их на мировой арене.
Та или иная страна может изображаться на картах в уменьшенном виде, чтобы показать давление, которое оказывают на нее другие страны. Так, в книге «Как обманывать с помощью карт» (How to Lie with Maps) Марк Монмонье приводит пример карты, опубликованной в 1973 году Еврейским национальным фондом Канады. На ней для демонстрации «арабской лжи» об израильской агрессии Израиль был изображен белым цветом на фоне арабского региона, закрашенного черным, который простирался от Марокко на севере Африки до Саудовской Аравии. Карта говорила о протяженности этих территорий, но не об их технологической, экономической и военной мощи или поддержке со стороны международного сообщества. Нацисты, которые умело использовали политическую пропаганду, применили этот же прием на карте под заголовком «Германия — нация-агрессор?», где территория Германии сравнивалась с территорией Британской империи.
Это лишь немногие примеры пропагандистского использования карт, которые хранит история картографии.
Глава 6
Центральная, или гномоническая проекция
Понять Эйнштейна нелегко, / он не для нашего ума, / и сколь бы малой ни была/ выдержка — хоть и сменить ее можно всегда/ и где бы ни простерлись тени,/скорость света будет неизменной. / Есть и другие слова и понятия,/ что могут любого из себя вывести./«Геодезическая» линия — кратчайший путь/ из какой-либо точки в другую, поблизости. / На этой шахматной доске/ Узнайте вы свои координаты, / чтоб доказать математически / теории о ближнем и дальнем.
Кеки Дарувалла «Инструкция к пространству-времени» («Space-time instruction») из сборника The Mapmaker (2002)
Центральная, или гномоническая, проекция считается самой древней. Ее авторство обычно приписывается Фалесу
Происхождение термина «центральная проекция» неизвестно. Термин «гномическая проекция» первым использовал английский математик Уильям Эмерсон в 1749 году. Позднее, в 1836 году, британский математик Огастес де Морган ввел современный термин «гномоническая проекция». Богатство геометрических свойств этой проекции основано на том, что кривые, указывающие кратчайшие пути (то есть геодезические линии), также называемые ортодромами, изображаются прямыми. Слабое место этой проекции заключается в том, что по мере удаления от точки касания (центра карты) искажения сильно возрастают, что делает проекцию неудобной для составления карт мира. Однако ее можно использовать в других целях.
* * *
ФАЛЕС МИЛЕТСКИЙ (ОК. 624 ГОДА ДО Н. Э. — ОК. 547 ГОДА ДО Н. Э.)
О жизни и творчестве этого греческого философа и математика мало что известно. Сведения о нем дошли до нас благодаря работам более поздних философов и историков, в частности Аристотеля, Геродота и Диогена Лаэртского. Фалес, учитель Пифагора, считался первым философом Античности и первым из семи мудрецов Греции. Ему приписывается ряд геометрических открытий, два из которых объединены общим названием «теорема Фалеса».
1. Угол, вписанный в полуокружность, прямой.
2. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько пропорциональных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные между собой отрезки.
Хотя мы не можем точно утверждать, каков на самом деле был вклад Фалеса в науку, достоверно известно одно: он был первым математиком, которому присваивались конкретные математические открытия. Фалес считается создателем дедуктивной геометрии; различные источники приписывают ему авторство решений множества практических задач. Так, Фалес измерил размеры египетских пирамид по длине их тени с помощью вертикально расположенной палки, предсказал солнечные затмения и вычислил расстояние от корабля до берега с помощью подобия треугольников. Благодаря Аристотелю нам известно, как Фалесу удалось разбогатеть. Ученый, применив знания астрономии, предсказал высокий урожай оливок и взял под контроль маслобойни в Милете и на Хиосе. Несколько месяцев спустя, когда урожай был собран, Фалес смог диктовать покупателям свои цены. В результате он разбогател и посрамил всех, кто попрекал его бедностью и называл его философию бесполезной.
* * *
Рассмотрим сферу и касательную ей плоскость. Отображением точки А на поверхности сферы, полученным с помощью центральной проекции, будет точка А' на плоскости, определяемая как пересечение прямой, проходящей через точку А и центр сферы, с этой плоскостью.
Схема центральной, или гномонической, проекции и карта, выполненная в этой проекции (центр проекции расположен на экваторе).