Мечта об идеальной карте. Картография и математика
Шрифт:
Во-вторых, кривую на плоскости, которая является отображением исходной кривой на сфере, можно приближенно представить с помощью множества отрезков, которые будут отображениями дуг больших кругов (об этом мы рассказали в прошлом разделе), а длину плоской кривой — как сумму длин расстояний между концами этих отрезков р'0, р', р'2, …, p'n :
l(') = d(р'0, р'1) + d(р'1, p'2) + … + d(р'n-1,
В-третьих, так как рассматриваемая проекция сохраняет расстояния, то расстояние между концами отрезков, составляющих исходную кривую на поверхности сферы, будет равно расстоянию между отображениями этих точек, которые будут концами отрезков, составляющих проекцию этой кривой:
d(pi, pi+1) = d(pi, pi+1), i = 0, …, n– 1.
Учитывая три приведенных утверждения, можно сказать, что проекция преобразует кривую на сфере в плоскую кривую той же длины.
* * *
СКОЛЬКО КРАСОК НУЖНО, ЧТОБЫ РАСКРАСИТЬ КАРТУ?
Когда мы были детьми, то наверняка рисовали карты, которые требовалось закрасить так, чтобы области одного цвета не имели общих границ. Возможно, кто-то даже смог увидеть, что для раскраски такой карты достаточно четырех красок. Именно эта мысль в середине XIX века пришла в голову брату одного из студентов Огастеса де Моргана — Фрэнсису Гутри (позднее он стал математиком и ботаником), когда он рассматривал карту графств Англии. Де Морган рассказал об этой гипотезе своим коллегам-математикам.
В 1879 году адвокат сэр Альфред Брей Кемпе, ученик математика Артура Кэли, предложил доказательство гипотезы о четырех красках. К сожалению, его доказательство оказалось ошибочным, хотя содержало интересные и глубокие идеи. Лишь в 1976 году Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен опубликовали окончательное доказательство теоремы о четырех красках. В нем исходная теорема была выражена на языке теории графов. Аппель и Хакен пошли от противного и предположили, что исходная гипотеза ложна и что существуют карты (графы), которые нельзя раскрасить четырьмя красками, затем они показали, что в таких картах существуют определенные «неизбежные конфигурации» и, наконец, что все подобные конфигурации на самом деле можно раскрасить четырьмя красками. Объем вычислений, которые потребовалось провести на последнем этапе доказательства, был столь велик, что пришлось прибегнуть к помощи компьютера, и это вызвало широкую полемику в математическом сообществе. Можно ли считать доказательство корректным, если оно включает вычисления, выполненные на компьютере, при этом предполагается, что любое доказательство должно быть убедительным, формализуемым и, что самое главное, проверяемым?
Карта мира, раскрашенная четырьмя красками: красной, синей, зеленой и желтой (на иллюстрации они представлены различными оттенками серого). Этих четырех красок достаточно, чтобы никакие две области, имеющие общую границу, не были окрашены в один цвет.
* * *
Читатель, знакомый с дифференциальной геометрией или анализом бесконечно малых, возможно, заметил, что в более строгом варианте представленного выше доказательства не обойтись без методов математического анализа.
Утверждение, обратное тому, что мы доказали, также будет верным: проекции сферы на плоскость, сохраняющие длины кривых, сохраняют и расстояния между точками. Причина в том, что расстояние между двумя точками — это длина кратчайшей кривой, их соединяющей.
Читатель, возможно, понимает, что означает сохранение величин углов между двумя произвольными направлениями. Но чтобы лучше понять, как отображения сферы на плоскость изменяют углы, нужно подробнее рассмотреть используемые понятия, хотя при этом придется применить некоторые термины.
Рассмотрим произвольную точку сферы р, два направления, проходящие через эту точку, то есть два касательных вектора v1 и v2 а также угол между ними. Чтобы рассчитать, как изменятся касательные векторы и, следовательно, величина угла, будем действовать следующим образом. Рассмотрим две кривые на поверхности сферы, 1: (— , ) —> S2 и 2: (— , ) —> S2,
Эти векторы будут отображениями векторов v1 и v2 полученными проекцией . Если угол между w1 и w2 вновь будет равен , то проекция будет сохранять углы между векторами v1 и v2 (а также между кривыми а1 и а2 соответственно). Интересный момент: векторы w1 и w2 которые являются отображениями векторов v1 и v2 полученными проекцией , не зависят от исходных кривых а1 и а2 , следовательно, они также не зависят от угла между этими кривыми. Это позволяет, например, выбрать в качестве кривых а1 и а2 дуги больших кругов, проходящие через точку р, и касательные векторы v1 и v2 которые определяются единственным образом.
Следовательно, интуитивно понятно, что изометрические преобразования сохраняют величины углов. Если для двух больших кругов сферы, которые пересекаются в точке, мы рассмотрим окружность достаточно малого радиуса r с центром в этой точке (иными словами, эта окружность будет образована точками сферы, удаленными от центра окружности на некоторое расстояние r), то угол между двумя большими кругами (равный углу между их касательными векторами) будет приблизительно равен отношению длины дуги окружности, определяемой двумя большими кругами, и ее радиусом, умноженным на 2.
Далее, если мы рассмотрим отображение, полученное проекцией, сохраняющей расстояния, то увидим, что проекциями больших кругов будут прямые (так как изометрические проекции сохраняют геодезические линии), а окружность радиуса r на сфере перейдет в окружность радиуса r, центр которой будет располагаться в точке пересечения полученных прямых на плоскости. Следовательно, так как проекция сохраняет расстояния, а формула, приведенная на предыдущей иллюстрации, выполняется на плоскости, угол между большими кругами также будет сохраняться.
Отображения, сохраняющие величины углов, называются равноугольными, конформными или изогональными. Последний термин напрямую указывает на то, что проекция сохраняет величины углов неизменными, а термин «конформный» означает «имеющий одинаковую форму» или «имеющий правильную форму». Таким образом, проекции, сохраняющие углы, сохраняют и формы, однако лишь для достаточно малых областей, что можно увидеть на картах в проекции Меркатора, о которых упоминалось в предисловии. На них по мере приближения к полюсам искажения становятся очень заметными.