Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

Альберти Микель

Чаще всего в сайгаку речь идет о вписанных геометрических фигурах. К примеру, требуется определить отношение радиусов трех окружностей, касающихся друг друга и вписанных в еще одну, большую окружность; определить размеры квадратов, вписанных в равносторонний треугольник; вписать ряд окружностей в эллипс или ряд сфер в большую сферу.

В 1781 году Фудзита Садасуке написал книгу «Математика в деталях» и помог своему сыну Каджену подготовить первую книгу, посвященную сайгаку. Она получила название «Священная математика» и была опубликована в 1789 году. В книге Фудзиты Садасуке приведен простой вариант задачи, где нужно найти расстояние между двумя точками, в которых окружности, касающиеся друг друга, касаются прямой.

Обозначив

радиусы окружностей через R и r, искомое расстояние — через d и применив теорему Пифагора, имеем:

(R — r)² + d² = (R + r)² => d = (R·r)

Интерес вызывает не задача сама по себе, а ее связь с пифагоровыми тройками.

Тройка целых чисел называется пифагоровой, если эти числа удовлетворяют теореме Пифагора, то есть квадрат одного из них равен сумме квадратов двух других. К примеру, пифагоровыми являются тройки (3, 4, 3), (6, 8, 10), (5, 12, 13) и (119, 120, 169). Пифагорова тройка называется примитивной, если два меньших числа в ней взаимно простые. Примитивными являются тройки (3, 4, 3), (5, 12, 13) и (119, 120, 169), но не (6, 8, 10), так как 6 и 8 — четные числа.

В еще одной задаче из книги Садасуке требуется доказать, что тройка чисел (а, b, с) пифагорова, если p и q одновременно не являются нечетными и удовлетворяют следующим соотношениям:

а = 2pq

b = p² — q²

c = p² + q².

Значение а очень похоже на ответ к предыдущей геометрической задаче. Чтобы значение а было ответом к предыдущей задаче, необходимо, чтобы квадратные корни радиусов R и r были целыми числами. Допустим, что это в самом деле так: R = р², r = q². Предположим, что разность R — r равна другому целому числу, s.

Тогда следующая тройка чисел будет примитивной пифагоровой тройкой:

2pq = d

р² — q² = R — r

p² + q² = R + r.

Таким образом, алгебраическая задача о пифагоровых тройках эквивалентна геометрической. По всей видимости, таков традиционный японский метод определения примитивных пифагоровых троек. Наконец, еще в одной задаче требуется найти все примитивные пифагоровы тройки для радиуса r <= 41. Решения этой задачи таковы:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (12, 35, 37), (20, 21, 29), (9, 40, 41).

Если мы построим между двумя описанными выше окружностями еще одну, то получим интересную задачу — она приводится в сайгаку 1873 года, подвешенной на алтаре Катаямахико в префектуре Окаяма. Каким отношением связаны радиусы трех окружностей, касающихся друг друга и прямой, на которую они опираются?

И вновь к решению нас приведет теорема Пифагора. Пусть радиусы окружностей удовлетворяют соотношению r₁ > r₂ > r₃

которое мы узнаем, применив теорему Пифагора. Для этого выделим треугольник, образованный вершинами окружностей и радиусами, которые проведены к общей касательной к окружностям.

Мы получим новые прямоугольные треугольники, в которых можно применить теорему Пифагора. Обозначив через d₁ и d₂ основания прямоугольных треугольников с гипотенузами r₁ + r₃ и r₂ + r₃ получим:

(r₁+ r₂)² = (r₁ — r₂)² + (d₁ + d₂)²

(r₁+ r₃)² = (r₁ — r₃)² + d₁²

(r₂ + r₃)² = d₂² + (r₂ — r₃)²

Выразив d₁ и d₂ из второго и третьего равенства и подставив полученные выражения в первое равенство, имеем:

Полученное соотношение является двойственным к теореме Пифагора, что можно заметить, записав квадратные корни как степени с дробным показателем:

Как найти значения трех радиусов, удовлетворяющих этому соотношению?

Имеет ли задача тройки целых или рациональных решений? Если мы рассмотрим числа, обратные квадратам натуральных чисел, то получим окружности, обладающие следующими свойствами:

Они будут иметь вид, представленный на рисунке.

Божественные розы

Соприкасающиеся окружности стали источником вдохновения не только для средневековых японских монахов и самураев, но и для архитекторов европейских готических соборов. Эта композиция, в которой главная роль отведена кругу, представляет собой символ христианства той эпохи. Важнейший элемент художественной выразительности в готике — роза и различные решетки. Их узоры представляют собой огромный круг диаметром несколько метров, в который вписаны другие круги и ряды окружностей. В большинстве случаев все эти фигуры соприкасаются между собой, а также касаются большого круга. Роза в церкви Санта-Мария-дель-Пи в Барселоне составлена из кругов, куда вписаны четыре соприкасающихся круга, которые также касаются круга, описанного вокруг них.