Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности
Шрифт:
* * *
СТРАННЫЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
Сегодня нам кажется совершенно нормальным возможность выразить дробь 19/8 в виде десятичной дроби 2,375 — мы просто делим 19 на 8. Но в XVI в. десятичные дроби были экзотикой. Фламандский инженер Симон Стевин (1548–1620) ввел обозначение десятичных дробей и предложил единицы веса и длины, основанные на десятичной записи, как и в метрической системе, используемой сегодня. Непер поддержал использование десятичных дробей и упрощенные обозначения Стевина, введя запятую (так называемую «десятичную точку») в качестве разделителя целой
* * *
Непер также интересовался нумерологией и астрологией. Второе увлечение привело его к исследованию свойств геометрических фигур на сферической поверхности, и в результате он получил важные соотношения для сферических треугольников. Любой студент, изучавший сферическую тригонометрию, наверняка помнит формулы, носящие имя знаменитого шотландца.
Тем не менее для Непера один вопрос был намного важнее всех остальных. В те дни численные расчеты были очень утомительными. Непер подумал, что он мог бы использовать свое время более эффективно, чем просто заполнять страницу за страницей бесконечными расчетами, которые на самом деле были лишь рутинной работой.
Ему удалось изобрести устройство для быстрого умножения и деления, состоящее из стержней с квадратным сечением и доски для умножения. В 1617 г. Непер издал руководство под названием «Рабдология» (счет с помощью палочек), в котором он объяснил правила работы с этим устройством. Устройство Непера, предшественник логарифмической линейки, использовалось в Шотландии более 100 лет. (Непер позднее усовершенствовал этот инструмент, заменив стержни карточками, которые позволяли умножать большие числа. На самом деле эти карточки были прообразом знаменитых перфокарт, которые появились более чем четыре века спустя вместе с первыми компьютерами IBM.)
Однако важнейшим достижением Непера с точки зрения истории математики являются логарифмы — гениальный способ вычислений, который он опубликовал в 1614 г. под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio («Описание удивительной таблицы логарифмов»). Чтобы оценить важную роль, которую логарифмы играют в теории простых чисел, мы сначала рассмотрим некоторые из их свойств.
Логарифмы основаны на следующей идее. Мы знаем, что число 1000 = 10 х 10 х 10 может быть записано как десять в степени три, 103 Аналогично:
1 000 = 103;
10 0 00 = 104;
1 000 000 = 106.
Предположим, мы хотим перемножить эти числа:
1000 x 10000 x 1000000 = 10000000000000.
Но 10000000000000 = 1013.
Мы могли бы выполнить это умножение, сразу написав 103 + 4 + 6 = 1013. Совершенно очевидно, что проще складывать, чем умножать. Чтобы убедиться в этом, попробуйте умножить 1038 х 1052 = 1090, записав числа в развернутом виде!
Здесь и появляются логарифмы. Глядя на пример 1000 = 103, мы можем задать такой вопрос: «В какую степень надо возвести число 10, чтобы получить 1000?»
log10 100 = 2;
log10 1 000 = 3;
log10 1 000 000 = 6.
Главной идеей такого подхода является то, что числа гораздо проще складывать, чем умножать. Например:
log10 (100 x 1000) = log10100 + log101000 = 2 + 3 = 5.
Применяя обратную функцию, антилогарифм, мы получаем конечный результат:
105 = 100000.
Эти операции показаны в следующей в таблице:
Первая строка таблицы начинается с числа 1, и каждое следующее число в 10 раз больше предыдущего. Такой ряд чисел называется геометрической прогрессией со знаменателем 10. С другой стороны, числа в нижней строке таблицы получаются путем добавления единицы к предыдущему числу. Таким образом, верхняя строка содержит операции умножения, а нижняя строка — операции сложения. Как видно из таблицы, операция умножения
1000 x 100000 = 100000000
эквивалентна операции сложения
3 + 5 = 8.
Мы можем составить такую таблицу, используя любую геометрическую прогрессию в верхней строке, например:
Чтобы умножить 4 на 16 (верхняя строка), мы сложим 2 и 4 (нижняя строка), получив число 6, которое соответствует числу 64. Аналогично мы можем выполнить операцию деления, но в этом случае результат получается путем вычитания соответствующих чисел в нижнем ряду. Например, чтобы разделить 256 на 8, мы просто вычтем 3 из 8, то есть 8–3 = 5, что соответствует 32, числу над числом 5.
Такое соотношение между числами в нижней и верхней строках является ключевым для логарифмов.
Теперь мы можем сформулировать строгое определение логарифма. Когда мы говорим о том, что число 32 соответствует числу 5, мы имеем в виду следующее равенство:
25 = 32.
Напомним, что 2 в степени 5 означает, что число 2 умножается само на себя пять раз. Мы можем читать строки второй таблицы следующим образом: «Число 3 является показателем степени, в которую надо возвести число 2, чтобы получить число 8» и «число 7 является показателем степени, в которую надо возвести число 2, чтобы получить число 128», что сокращенно записывается так:
log28 = 3;
log2128 = 7.
Эти выражения читаются соответственно так: «Логарифм числа 8 по основанию 2 равен 3» и «логарифм числа 128 по основанию 2 равен 7». Теперь рассмотрим пример из первой таблицы, 104 = 10000, то есть 4 является показателем степени, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число 10000. Запишем это с использованием логарифма: log1010 000 = 4, что читается как «логарифм числа 10000 по основанию 10 равен 4».