Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности
Шрифт:
С одного взгляда наш мозг способен распознать до пяти объектов. При больших количествах для подсчета приходится использовать другие стратегии.
* * *
Системы счета возникли на основе такого мощного процесса абстракции, который, по мнению многих специалистов, наряду с изучением языка является одним из самых серьезных достижений человечества за всю историю. Когда мы говорим «три», мы можем иметь
Напомним, кстати, что повседневный язык также включает в себя процесс абстракции. Когда ребенок впервые узнает слово «стул», он называет им исключительно тот объект, на котором обычно сидит, но постепенно он понимает, что то же самое слово может относиться не только к одному высокому стулу, но и ко многим другим объектам с той же функцией. Процесс абстракции продолжается и в один прекрасный день переходит на более высокий уровень: появляется слово «сиденье», которое относится не только ко всем стульям, но и к скамейкам, табуреткам и всему, на чем можно сидеть.
Многие не любят математику, объясняя это тем, что она слишком абстрактна, как будто процесс абстракции является чем-то искусственным и неестественным.
Но это не так. Если бы мы не обладали способностью к абстракции, мы не смогли бы даже выработать общий язык. Иногда абстрактное мышление называют также непрактичным, но и это не соответствует действительности. Лишь наиболее абстрактный метод является наиболее практичным. Хорошим примером этого служит позиционная система счисления, которую мы используем в повседневной жизни самым «естественным» образом. В непозиционной системе символ, представляющий число, имеет одно и то же значение независимо от позиции, которую он занимает.
Например, в римской системе счисления число пять обозначается буквой V и имеет одно и то же значение в выражениях XV, XVI и VII. Однако если бы римская система была позиционной системой счисления, то в первом выражении символ V означал бы пять единиц, во втором — 50, а в третьем — 500.
Открытие позиционной системы счисления оказалось не совсем простым делом.
На это потребовалось более тысячи лет. Числа имеют долгую и интересную историю, но это не главная тема нашей книги. Будем считать, что числа нам уже известны и что, кроме того, мы уже знакомы с основными операциями сложения, вычитания, умножения и деления.
Цивилизация майя — одна из немногих древних цивилизаций, применявших позиционную систему счисления. Майя использовали только три символа: раковина обозначала ноль, точка — каждую единицу, тире — пять единиц.
Возьмем любое число, например, 12. Мы знаем, что мы можем выразить это число по-разному как произведение других чисел:
12 = 2 х 6;
12 = 3 х 4;
12 = 2 х 2 х 3.
Далее мы будем называть эти числа
Разложение числа на множители иногда называют факторизацией: от латинского слова facere — «делать» или «производить», потому что каждый множитель «производит» исходное число. В выражении 12 = 3 х 4 число 3 является одним из множителей, которые «производят» число 12.
Соответственно, на вопрос: «Какие числа являются делителями числа 12?» можно ответить, что числа 2, 3, 4 и 6 будут делителями числа 12, потому что при делении 12 на любое из них получается целое число. Делителем любого числа также является 1, так как каждое число делится на единицу и еще на само себя. Например, делителями числа 18 являются следующие числа: 1, 2, 3, 6, 9 и 18.
Теперь сделаем то же самое для числа 7, а именно найдем его делители. Мы увидим, что число 7 делится только на единицу и на само себя. То же самое верно и для чисел 2, 3, 5, 11 и 13. Эти числа и являются «простыми».
Теперь мы можем дать точное определение простого числа: число называется простым, если оно делится только на единицу и на само себя.
Эти рассуждения о натуральных числах содержали операции умножения и деления. В результате мы пришли к выводу, что некоторые числа являются особыми, и при нахождении определения, которое описывает их, мы использовали процесс абстракции. Дав этим числам название и определив их свойства, мы можем приступить к более глубокому их изучению.
* * *
ЗНАКИ ДЬЯВОЛА
В эпоху темного средневековья цифры считались тайными знаками «секретного письма». Именно поэтому закодированные сообщения до сих пор называют «зашифрованными сообщениями», так как слово «шифр» происходит от арабского слова «цифра». Строго говоря, только те сообщения, в которых буквы заменены цифрами, следует называть зашифрованными. Когда арабские цифры впервые появились в Европе, рьяные абацисты (счетоводы) заменяли их на счетах римскими цифрами, не желая использовать эти «дьявольские символы, которыми Сатана сбил арабов с пути истинного». Даже спустя шесть веков после смерти папы Сильвестра II, в 1003 г., церковники приказали вскрыть его могилу, чтобы проверить, нет ли там демонов, которые внушили ему интерес к науке сарацинов.
Гэрберт Орильякский, избранный папой римским под именем Сильвестра II, был папой-математиком.
* * *
Простые числа называют «кирпичами» в здании математики, «атомами» математики и «генетическим кодом» чисел. Дома строятся из кирпичей, все в природе состоит из атомов, а живые организмы определяются генетическим кодом. Все эти аналогии основаны на общем понятии: первичных элементах, из которых строится вся система. Рассмотрим теперь роль простых чисел в математике.