Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности
Шрифт:
Именно так работают односторонние функции с потайным входом, которые легко применить в одном направлении, но практически невозможно — в обратном.
Схема, иллюстрирующая алгоритм Диффи — Хеллмана. Имеются два абонента, Алиса и Боб, желающие общаться втайне. Они открыто договариваются о двух числах (простое число р и другое число g, имеющие определенные свойства). И Алиса, и Боб выполняют
Предположим теперь, что вместо банок с краской в магазине находятся простые числа. Возьмем любые два, например, 7 и 13, и перемножим их (аналогично смешиванию краски). В результате мы получим 7 х 13 = 91.
Тогда возникает вопрос: можно ли узнать, какие простые числа были перемножены, чтобы в результате получилось 91? Для ответа на него надо взять список простых чисел и проделать несколько проверок. Казалось бы, простое решение, как и в случае определения цвета красок, если в магазине было всего около десятка основных цветов.
Но с простыми числами все намного сложнее.
Например, ни у кого не хватит терпения проверить, что число 1409 305 684 859 является результатом умножения простых чисел 705 967 и 1996 277, особенно если учесть, что эти два простых числа взяты из списка простых чисел между 1 и 2000000, а там таких «всего лишь» 148933. Однако мы живем в эпоху высоких технологий, и, конечно, эту задачу можно довольно быстро решить с помощью хорошей программы и мощного компьютера. Хотя все зависит от того, насколько большой этот магазин красок. Не следует также забывать, что количество простых чисел не просто очень большое, а бесконечное.
Пара простых чисел в приведенном выше примере содержит лишь несколько цифр. Если мы возьмем простые числа, каждое из которых содержит сотни цифр, то время, которое потребуется компьютерной программе на простой перебор всех возможных вариантов — метод «грубой силы», как говорят криптографы, — будет больше, чем предполагаемое время существования Земли.
Простые числа повсеместно используются в нашей повседневной жизни, например, в кредитных картах и персональных компьютерах, поэтому постоянно существует потребность в новых простых числах (чем больше, тем лучше) для генерации секретных кодов. Таким образом, имеется спрос на простые числа, но контроль качества так же важен, как и их производство. Чтобы большому числу присвоить статус простого, его должна проверить специальная организация.
Шифр RSA был опубликован в 1978 г., но повсеместно начал использоваться в качестве метода шифрования лишь в конце 1990 гг. в связи с ростом сети интернет. Поиск больших простых чисел прежде требовал специального программного обеспечения, которое, как правило, можно было купить лишь в специализированных фирмах или в университетах, занимающихся такими исследованиями. Однако экспоненциальный рост вычислительных мощностей и появление более совершенных алгоритмов изменили рынок простых чисел и сделали их гораздо более доступными.
* * *
RSA-129
В апреле 1994 г. шифр RSA-129 потерпел полное фиаско. Он был построен на числе, содержащем 129 цифр, о чем объявили авторы этой системы шифрования, предложив желающим
* * *
Появление логарифмов позволило значительно сэкономить время при выполнении вычислений. Позже появились логарифмическая линейка и первые вычислительные машины, которые использовали вращающиеся цилиндры для выполнения операций сложения и умножения.
Тем не менее, именно компьютеры смогли делать вычисления, выходящие за пределы возможностей человеческого мозга. Машины могли даже имитировать дедуктивные рассуждения — одно из свойств математического мышления. В этот момент некоторые ученые почувствовали, что компьютеры достигли рубежа, к которому до сих пор ни одна машина не подходила. Был ли это правильный путь?
Экспоненциальный рост информационных технологий привел к изменению системы воззрений, сложившейся на протяжении веков. Начали появляться первые вычислительные алгоритмы, способные доказывать теоремы.
Противники компьютерных доказательств приводят два основных аргумента.
Во-первых, такие доказательства невозможно проверить, так как компьютерная программа содержит этапы, которые никакой математик никогда не сможет проконтролировать. Во-вторых, в процессе возможны ошибки из-за сбоев как в аппаратном, так и в программном обеспечении. В большинстве случаев эти ошибки случайны. Одним из способов предотвращения таких ошибок является использование различных программ на разных машинах (чтобы сравнить полученные результаты).
Но компьютеры могут работать только с кодами из единиц и нулей. Это накладывает некоторые ограничения, так как для чисел, которые не могут быть выражены в двоичной системе счисления, приходится использовать приближенные значения, что ведет к возможным ошибкам. В 1991 г. Дэвид Стаутмайер провел 18 экспериментов, доказав, что вычисления с помощью компьютерных программ могут дать неверные результаты.
Именно поэтому многие считают, что новые вычислительные методы исследований можно применять лишь в экспериментальной науке, а не в математике. Однако никто и не говорит, что в математике может быть использован лишь один метод.
Подсчитано, что у суперкомпьютера Cray на каждую тысячу часов работы приходится лишь одна ошибка.
«Традиционные» математические подходы тоже никогда не были свободны от ошибок. В ряде случаев неверные результаты считались правильными в течение многих
лет. Кроме того, в наши дни математика достигла такого высокого уровня разнообразия и сложности, что проверка доказательства теоремы может занять годы, или доказательство будет понятно в лучшем случае лишь нескольким специалистам.