Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Гомес Жуан

Глава 3

Конкуренты Евклида

На протяжении веков пятый постулат вызывал обильные комментарии и критику в трудах самых известных геометров. Многие из них были убеждены, что этот постулат можно доказать с помощью других постулатов, и сосредоточили свои усилия на поиске доказательства, чтобы, наконец, объявить его теоремой.

После многих столетий развития математических теорий никто так и не смог доказать ни сам постулат, ни ложность тех геометрий, которые этот постулат отвергают.

Последний греческий мастер

Список математиков, которые пытались доказать пятый постулат Евклида,

содержит много самых знаменитых имен в истории науки. Результаты этих ученых открыли дорогу новым геометриям, и мы не должны забывать их новаторских работ в этой области.

Тем не менее, несмотря на усилия лучших математиков, все попытки были тщетны. Каждый, кто брался за решение этой задачи, получал результаты, эквивалентные пятому постулату, но строгое доказательство так и не было найдено. Одна из первых попыток была сделана Проклом в V в.

Прокл оставил ряд своих комментариев, например:

«Это положение должно быть совершенно изъято из числа постулатов, потому что это — теорема, вызывающая много сомнений, которые Птолемей пытался разрешить в одной из своих книг, и его доказательство потребовало сложных определений и теорем. Кроме того, обратное утверждение было доказано самим Евклидом в качестве теоремы. Утверждение, что «две прямые неизбежно пересекаются, будучи продленными достаточно далеко», представляется правдоподобным, но не необходимым. Таким образом, совершенно ясно, что должно быть найдено доказательство настоящей теоремы, а такое требование природе постулатов совершенно чуждо».

* * *

ПРОКЛ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ (410–485)

Греческий математик Прокл родился в Константинополе и умер в Афинах. Он был последним крупным языческим ученым. Из-за своего язычества он был изгнан из Афин на целый год. Он был выдающимся комментатором Евклида и Птолемея, а потому является важной фигурой древнегреческой геометрии.

* * *

Фактически греческий математик хотел показать, что только одна параллельная прямая m проходит через точку Р вне прямой l.

Прокл предположил, что, по крайней мере одна прямая, параллельная l, проходит через точку Р, и он обозначил ее буквой m. Затем он хотел доказать, что любая другая прямая, проходящая через Р и отличная от m, пересекает прямую l.

Таким образом было бы показано, что если существует параллельная прямая, проходящая через Р, то она должна быть единственной. Итак, Прокл провел через точку Р прямую n, отличную от m, и опустил из точки Р перпендикуляр на прямую l, обозначив его основание буквой Q.

Далее, если прямая n проходит через точки Р и Q, то n пересекает прямую l в точке Q. Но что если n не проходит через точки Р и Q? В этом случае на прямой n

можно отметить точку Y и опустить из нее перпендикуляр на прямую m, обозначив его основание точкой Z.

На рисунке выше мы видим, что отрезок РY ограничен прямой m и отрезком YZ, а точка Y может двигаться вправо по прямой n.

Далее Прокл отмечает, что длина отрезка YZ увеличивается по мере продвижения вправо (и может стать бесконечно большой). Поскольку расстояние между прямыми m и l постоянно, то n обязательно пересечет l в некоторой точке. Таким образом, как думал Прокл, пятый постулат был доказан.

Обратите внимание: рассуждения греческого ученого опираются на то, что расстояние между прямыми m и l постоянно. Таким образом, единственным аргументом является то, что прямые m и l не пересекаются.

Кроме того, длина отрезка может увеличиваться бесконечно, но не превышать некоторой фиксированной величины. Фактически Прокл свел доказательство пятого постулата к доказательству того, что параллельные прямые находятся на постоянном расстоянии друг от друга, что эквивалентно аксиоме параллельности Плейфера.

Средневековые хранители греческого наследия

Арабские математики также пытались доказать пятый постулат. Первым из них былИбн ал-Хайсам (965—1039), известный на Западе как Альхазен. Он исходил из предположения, что если четырехугольник имеет три прямых угла, то четвертый угол тоже должен быть прямым, откуда Альхазен заключил, что через точку вне прямой проходит только одна параллельная линия. Его заключение основывается на том, что геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, является прямой линией. Обратите внимание, что его аргументы тоже основаны на понятии равноудаленности, хотя и не так явно. Таким образом, его предположение (если четырехугольник имеет три прямых угла, то четвертый угол тоже прямой) эквивалентно пятому постулату Евклида: Альхазен использует пятый постулат, чтобы доказать пятый постулат!

Персидский математик Омар Хайям (1050–1123) был известен как в арабском мире, так и на Западе благодаря своим работам по астрономии, алгебре и, в частности, благодаря вкладу в геометрию. Его знаменитая работа «Об истинном смысле параллельных и об известных сомнениях» содержит аргументированные рассуждения с использованием четырехугольников. Эта теория лишь через 600 лет была развита итальянским философом и математиком Джироламо Саккери.

Хайям рассматривал четырехугольник с вершинами А, В, С и D, такой, что стороны АВ и CD конгруэнтны (то есть одна из них может быть наложена на другую), а углы при вершинах А и D являются прямыми. Омар Хайям доказал, что углы при вершинах В и С также конгруэнтны, но он не утверждал, что они должны быть прямыми. Четырехугольник такого типа имеет следующий странный вид: