Новая философская энциклопедия. Том второй Е—M

Коллектив авторов

МЛАДОРОССЫ- см. Евразийство.

МНЕНИЕ(греч. ooCa) — суждение, выражающее чувственное отношение к чему-нибудь — оценку, взгляд и т. п. В античной философии докса была противопоставлена логосу как истинному знанию. Считалось, что с помощью «очей разума» открывается подлинная реальность, а докса является «темным», «неразумным» знанием, искажающим истину. Согласно Демокриту, мнение принадлежит к «незаконнорожденному» знанию; у Платона и у Аристотеля — мнение — это нечто случайное, быстротекущее. В определении мнения изначально фигурирует внутреннее отрицание: указывается на наличие черт, прямо противоположных содержательным характеристикам логоса. Подмечаетсятакже и асимметричность в способах освоения реальности. Погруженность в практику жизни обеспечивает мнению конкретность, импульсивность, нестандартное «поштучное» существование, «следование» за реальностью, возможность бессловесной трансляции и др. Скептическое отношение к мнению повлияло на историческую судьбу «неинтеллигибельного» знания, которое вплоть до кон. 19 в. оставалось слабоизученным, не имело развернутых концепций. Такое положение объясняется не только приоритетом рацио, но и принципиальными трудностями, встающими на пути артикуляции мнения — неосознанных чувств, восприятий, намерений и др. компонент внерацио- нального сознания. Лишь в сер. 20 в. (в лингвистике обыденного языка) начался поворот, переломивший инерцию в отношении к мнению. Данные лингвистики, психо-, нейролингвистики и др. показали, что мнение самодостаточно и обладает возможностью особого жизнепонимания. Я. Т. Абрамова

МНЕНИЕ ОБЩЕСТВЕННОЕ- состояние массового сознания, заключающее в себе отношение (скрытое или явное) различных совокупностей людей, именуемых общественностью или публикой, к событиям и фактам социальной действительности. Вопреки распространенному взгляду, общественное мнение представляет собой не любое публичное высказывание тех или иных представителей общественности (напр. политических лидеров) и тем более не механическую сумму множества высказываний, зафиксированных в ходе т. н. социологических опросов общественного мнения, а органический продукт социальной жизни, некое коллективное суждение, возникающее в процессе и результате сложной социальной коммуникации, публичной дискуссии. Возникновение этого продукта предполагает наличие в обществе многих важных условий: общественности, осознающей себя в качестве субъекта социального поведения; обильного потока свободной и доступной массам информации по предмету обсуждения; интереса у масс к этой информации; способности масс артикулировать свою позицию; наконец, широкой сети безотказно функционирующих каналов межперсональной и межгрупповой коммуникации. Общественное мнение действует практически во всех сферах жизни общества. Вместе с тем границы его суждений достаточно определены. Как правило, в качестве объекта высказываний масс выступают лишь те факты и события действительности, которые вызывают общественный интерес, отличаются значимостью и актуальностью. В каждом конкретном случае содержание и др. характеристики общественного мнения (степень его единодушия, знак высказываний и т. д.) определяются рядом факторов — социально-демографической структурой высказывающейся общности, степенью совпадения интересов входящих в нее различных групп, характером обсуждаемого вопроса и т. д. При этом процессы формирования и функционирования общественного мнения могут протекатьстихийно, независимоотдея- тельности тех или иных

социальных институтов, но чаще все- гоониявляются результатом целенаправленного действия разного рода государственных учреждений, политических организаций, средств массовой информации и т. д. Общественное мнение действует как в рамках общества в целом, так и в рамках различных классов, групп и слоев населения. В этом смысле можно говорить не только об общественном мнении всей страны, но и об общественном мнении, напр., рабочих, молодежи, того или иного региона, лиц одной профессии, работников данного предприятия, членов данной организации и т. п. Т. о., применительно к названным общностям носителем (субъектом) общественного мнения может выступать как общность в целом, так и любые составляющие ее части — независимо от содержания их суждении, оттого, высказываются ли они «за» или «против», образуют ли «большинство» или «меньшинство». В соответствии с этим по своей структуре общественное мнение может быть монистичным (единодушным) или плюралистичным, состоящим из ряда не совпадающих друг с другом точек зрения. Отражающее несовпадающие интересы различных слоев населения, складывающиеся на различных по глубине уровнях общественногосознания, подвергающеесяманипулированию со стороны СМИ, общественное мнение может быть в большей или меньшей степени адекватным реальному положению вещей или иллюзорным, содержащим ошибочные представления о действительности. В различных демократических обществах привычными каналами (и формами) выражения общественного мнения являются: выборы органов власти, пресса и электронные средст-

585

МНЕСАРХ ва массовой информации, собрания, манифестации и пр. Наряду с этим широкое распространение имеют также и высказывания, инспирируемые политическими, исследовательскими и иными интересами и принимающие форму референдумов, массовых обсуждений каких-либо проблем, совещаний экспертов, выборочных опросов населения и т. д. Активность функционирования и фактическое значение общественного мнения в жизни различных обществ определяются существующими в обществе социально-политическими условиями — всеобщими, связанными с классовой структурой общества, мерой развитости в нем политической культуры масс и т. п., и специфическими, связанными с уровнем развития в обществе демократических институтов и свобод, в первую очередь свободы выражения мнений — слова, печати, собраний, атакже наличием в обществе системы гарантий действенности общественного мнения. В условиях развитых (западных) демократий общественное мнение ифаетроль «пятой власти», выступая в экспрессивной, контрольной, консультативной и директивной функциях, занимает определенную позицию, дает совет или выносит решение по различным общественными проблемам и тем самым регулирует поведение индивидов, социальных групп и институтов в обществе. Лит.: Грушин Б. А. Мнения о мире и мир мнений. М, 1967; Ноэль Э. Массовые опросы. М., 1978; Американское общественное мнение и политика. М., 1978; Массовая информация в советском промышленном городе. М., 1980; Горшков М. К. Общественное мнение. М-., 1988; Мониторинг общественного мнения: экономические и социальные перемены, периодическое издание ВЦИОМ, 1993—1998; Lippmann W. Public Opinion. N. Y, 1922; Berelson В., Yanowitz M. Reader in Public Opinion and Communication. N. Y, 1965; Childs H. Public Opinion: Nature, Formation and Role. Princeton (N. J.), 1965; Gallup G. The Sophisticated Poll Watcher's Guide. Princeton (N. J.), 1972. Б. A. Грушин

МНЕСАРХ(Mvn.aapxoc) (cep. 2 в. до н. э.) — греческий философ-стоик, возможно, ученик Панэтия. Пользовался таким же авторитетом, как Диоген Вавилонский и Антипатр из Торса (Cic. De fin. 12,6). Сочинения утрачены. Лит. см. к ст. Стоицизм. А. А. Столяров

МНОГОЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ- обобщение классической двузначной логики (см. Логика высказываний) к примеру, посредством которого к обычным истинностным значениям «истина» и «ложь» добавляются и другие (промежуточные) значения. Этот факт указывает на то, что принцип двузначности («каждое высказывание или истинно, или ложно») отбрасывается, хотя построение многозначнойлогики осуществляется по аналогии с классической двузначной логикой (С2), Именно на этом пути была впервые построена в 1920 Я. Лукасевичем трехзначная логика (L3) с целью опровержения логического фатализма. В этой логике явным образом указывается число истинностных значений, в данном случае 1 (истина), Уг (случайность) и 0 (ложь). Выделенным истинностным значением, как и в С2 является 1. Исходными логическими связками у Лукасе - вича являются -> (импликация) и ~ (отрицание). Как и в случае с С2, дается их табличное определение: ~

1

Уг

0

~р

0

Уг

1

– * *1 Уг

0

1 Уг 0 1 Уг 0 1 1 Уг

1 1 0

Пocpeдcтвoмиcxoдныxcвязoкoпpeдeляютcяv(дизъюнкция), л (конъюнкция) и = (эквиваленция): p*q = ~(~pv~q)9 Р = Я = (Р -> Я)А (Я -> Р). Значения р v q и р л q, как и в С2 есть max и min соответственно от значений р и q. Формула А является общезначимой (законом логическим), если при любом приписывании значений из множества {1, Vi, 0} переменным, входящим в А, формула А принимает значение 1. Логика Ц оказалась весьма необычной, напр. в ней не имеют места следующие законы С2: р v ~ р — исключенного третьего закон, ~(р Л ~ р) — непротиворечия закон, (Р —KP —* Q)) -* (Р —у Q) — закон сокращения. С другой стороны, выразительные средства L3 богаче С2 поскольку в ней уже можно выразить своеобразные модальные операторы Ор (возможно, что р) и Dp (необходимо, что р): Ор = ~р —> р и Dp = ~0~р, что и было сделано А. Тарским в 1921 г. Понятно, что множество связок {-, л, v} недостаточно для определения —к С другой стороны, добавление к {-, л, v} одного из модальных операторов позволяет определить —>. В 1931 13 была аксиоматизирована учеником Лукасевича М. Вайсбергом: l.(p-*q)->((q-r)->(p->r)) 2. р -> (q-^p) 3. (~р-+ ~q) — (q—p) 4. ((р— ~р) —р) ->р. Правила вывода: modus ponens и подстановка. В общей теории многозначных логик основным способом задания является матричный. Система М= <М; D, v, л, z>, -¦> называется логической матрицей, где M — множество истинностных значений; d z> m есть множество выделенных значений; v,a, z> — двуместные, а -. — одноместная операции на М. Поскольку алгебра А = <М; v, л, z>, -i> является однотипной с алгеброй формул пропозиционального языка L, то обычным образом определяется функция оценки v (гомоморфизм) формул языка L в матрице М. Формула А называется общезначимой в М, если при всех значениях переменных в множестве M значение А принадлежит D. Логическая матрица называется характеристической для исчисления высказываний L, если общезначимы те и только те формулы, которые выводимы в L. Множество всех общезначимых формул называется матричной многозначной логикой. Здесь возникают две проблемы: 1) нахождение минимальной характеристической матрицы для L; 2) нахождение конечной аксиоматизации (если это возможно) по каждой конечной матрице М. Примерами минимальных характеристических матриц могут служить матрицы для классической двузначной логики С2 и трехзначной логики Лукасевича Ly Приведем примеры других n-значных логик (п > 3). При изучении многозначных логик понятие функции является основным и наряду с булевыми функциями (функциями двузначной логики) используется для описания дискретных устройств, компоненты которых могут находиться в некотором числе различных состояний. Произвольная функция f(x,..., xm) от любого конечного числа переменных, областью определения которых и областью значения самой функ-

586

МНОГОЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ ции является множество M (без ограничения общности можно считать, что его элементами являются 0, 1, 2,..., п-1), называется n-значной функцией, или функцией n-значной логики. Имеются различные способы задания функций. Напр., функция f(x,..., xm) может быть задана таблицей, где в некотором порядке перечислены все n-ичные наборы длины m (из элементов 0, 1, 2,..., п — 1) и на каждом из них указано значение функции, как это делалось в двузначной логике. Число п-ичных наборов длины m равно nm и на каждом из них значение функции можно задать п способами. Поэтому число всех функций n-значной логики Ри, зависящих от аргументов х,..., хт, составляет п"™ . Случай п > 2 оказывается существенно более сложным, чем классический случай Рт Уже в Р3 число функций от двух переменных равно 19 683, в то время как в Р2 таких функций всего 16. Как и в двузначном случае, в Рп выделяются функции, которые наиболее часто употребляются в логике и кибернетике и играют там важную роль. Такие функции называются элементарными. Вот некоторые из них: константы 0,1, 2,..., п—1 — (нульместные функции); отрицание Лукасевича: ~х=(п— 1)—х — обобщение отрицания в смысле «зеркального отрицания»; отрицание Поста: —ix = х + l(mod n) — обобщение отрицания в смысле «циклического сдвига значений»; характеристическая функция числа i, i = 0,1,..., n — 1: т ( ч _ f n — 1, если х = i, JiW~ 10,еслих*1. J.(x) — обобщение некоторых свойств отрицания; минимум х и у: х л у = min (x, у) — обобщение конъюнкции; максимум х и у: х V у = max (x, у) — обобщение дизъюнкции; сумма по модулю п:х ® у = х + у (mod n) — обобщение суммы по mod 2 (значение этой функции равно остатку от деления суммы х + у на п); импликация Лукасевича: х =/п- 1,еслих <у, \ (п — 1) — х + у, если х > у. х —> у — обобщение одного из свойств классической импликации; функция Вебба: Wn(x, у) = тах(х, у) + l(mod n) — обобщение штриха Шеффера на функционально полную логику Поста Рп. Операция дизъюнкции х V у и отрицание Поста -iX, определенные на множестве М, являются исходными операциями первой n-значной логикой (п>3), названной Рп, которая была построена Постом в 1921, притом с произвольным числом выделенных значений. В свою очередь, n-значная логика Лукасевича Ln была построена в 1922—23 как обобщение L3. Изучение Ln и Рп составило важнейший этап в развитии теории многозначных логик. Кроме двух рассмотренных способов задания функций (табличного и алгоритмического (в последнем случае x v у, к примеру, задается как тах(х, у)) не менее известным способом является формула, описывающая функцию как суперпозицию исходных элементарных функций. Функция, полученная из функций f,,..., fk подстановкой и/или переименованием аргументов, называется суперпозицией f,,..., fk. Выражение, описывающее эту суперпозицию и содержащее функциональные знаки и символы аргументов, называется формулой, и тогда говорят, что формула реализует или представляет данную функцию. В этом случае имеем дело с формульной моделью многозначной логики, а сама модель зачастую отождествляется с этой логикой. Основной проблемой здесьявляется проблема интерпретации истинностных значений. Для широкого класса многозначных логик эта проблема решена А. С. Карпенко (1983) в терминах классических истинностных значений. В кибернетике такие модели рассматриваются как управляющие системы. Элементарные функции при этом являются элементами, производящими определенные операции, а формулы интерпретируются как схемы, построенные из элементов и осуществляющие переработку входной информации в выходную. Характерными для формульной модели являются: задача об указании всех формул, реализующих заданную константу; задача об эквивалентных преобразованиях; задача о сложности реализации; задача о минимизации и т. д. Однако в зависимости от того, какие цели преследуются при изучении многозначных логик, по-разному понимается, что собой представляет ее модель. Для многих специалистов, связанных с вычислительной техникой, инженеров, прикладных математиков и физиков гораздо большее значение имеет представление модели многозначной логики в виде функциональной системы, обозначаемой (Рп, С), где Рп есть множество всех функций n-значной логики (или множество всех функций счетнозначной логики PJ с заданной на нем операцией суперпозиции С, а сама функциональная система (Рп, С) зачастую отождествляется с многозначной логикой, т. е. (Рл, С) выступает в качестве модели многозначной логики. Эта модель, в отличие от рассмотренных выше алгебр истинностных значений, является алгеброй функций. Известна содержательная трактовка понятия функциональной системы ((РпУ С) выступает ее частным случаем), в основе которой лежит рассмотрение таких пар (Р, Q), в которых Р есть множество отображений, реализуемых управляющими системами из некоторого класса, a Q состоит из операции, используемой при построении новых управляющих систем из заданных. В нашем случае Q представляет собой операцию суперпозиции С. Труднейшей проблемой при изучении функциональных систем является следующая: какие функции могут быть сконструированы из данного множества функций. Проблема эта возникает и в самом пропозициональном исчислении, представленном формульной моделью, и в синтезе автоматов, и в универсальной алгебре; но именно здесь ей уделяется специальное внимание. Важнейшее свойство функциональной системы есть свойство функциональной полноты (напр., для того, чтобы можно было реализовать любую переключательную схему). Система функций 9t = {f,,—, fk,...} из Р называется функционально полной, если любая функция из Рп пред- ставима посредством суперпозиций функций из системы 9t. Т. о., указанная выше проблема приобретает здесь следующий вид: является ли некоторое множество 9t функционально полным? Напр., логика Поста Рп, как и классическая двузначная логика, является функционально полной. Отсюда их исключительно широкое применение и развитие. С понятием полноты связано понятие операции замыкания и замкнутого класса. Пусть 9t c P • Множество всех функций, которые могут быть получены из функций системы 9t с помощью операции суперпозиции, называется замыканием 91 и обозначается [9t ]. Класс функций 9t называется (функционально) замкнутым, если [9t ] = 9t, т. е. замкнутость класса функций 9I обозначает собою сохранение при суперпозиции «наследственных» свойств этих функций. В терминах замыкания можно дать другое определение полноты, эквивалентное исходному: 9t — полная система, если [ 9t ] = Р .

587

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ Сложной технической проблемой для n-значных логик остается распознавание полноты для произвольных систем. Выделяются два подхода к решению задачи о полноте. В первом случае ставится вопрос о существовании алгоритма, устанавливающего полноту или неполноту системы функций; во втором рассматривают совокупность всех предполных классов функций в Ря. Система Э{ функций называется предполной в Р, если 9? представляет не полную систему но добавление к SR любой функции f такой, что f Е Ря и f e 9( преобразует Э( в полную систему. Или, в терминах замыкания: SR предполна в Ря, если [ SR]9t/>nH[SRu{f}] = P,raefG Pnfe SR. Важная роль предполных классов функций видна из следующей теоремы, которая формулирует критерий функциональной полноты: система функций SR n-значной логики полна тогда и только тогда, когда она не содержится целиком ни в одном предполном классе. Г. Розенбергом в 1970 было дано описание всех предполных классов в n-значной логике, и хотя число предполных классов я(п) конечно для любого п, однако очень быстрый их рост указывает на малую практическую эффективность предполных классов для решения проблемы полноты. Удивительную связь свойства функциональной предполноты с теорией простых чисел имеет логика Лукасевича Ln. Как было установлено В. К. Финном в 1970, n — 1 является простым числом тогда и только тогда, когда Ln предполно в Ря. Т. о., мы имеем новое определение простого числа. Более того, оказалось возможным построить такие Ln, которые имеют класс общезначимых формул тогда и только тогда, когда n — 1 есть простое число. Последние результаты привели А. С. Карпенко к открытию закона порождения классов простых чисел, притом порождаются все простые числа. К проблеме полноты примыкает задача о базисах, состоящая в указании всех полных в замкнутом классе SR c P подмножеств, никакое собственное подмножество которых уже не полно в 9R, т. е. базисом является минимальная полная независимая система функций, удаление из которой любой функции делает систему неполной. Особую роль играют базисы, состоящие из одной функции, т. е. штрихи Шеффера. Однако наиболее сложной, можно сказать, глобальной задачей для многозначной логики остается описание решетки замкнутых классов данной модели многозначной логики. Для двузначной логики эта задача полностью решена Э. Постом в начале 20-х гг., где установлено, что мощность множества замкнутых классов в Р2 счетна. Позже им дано полное описание решетки замкнутых классов, каждый класс строится эффективно, и показано, что каждый замкнутый класс имеет конечный базис. Эти классы названы классами

Поста. Однакос многозначной логикой дело обстоит совсем по-другому. Оказалось, что имеются существенные различия между классической двузначной логикой и многозначной, говорящие о принципиальной несводимости второй к первой. В отличие от /ущя всякого n > 3 существует в Ря замкнутый класс, не имеющий базиса, а такте для всякого n > 3 существует в Рв замкнутый класс со счетным базисом. Непосредственно к этому примыкает следующий результат: для всякого n > 3 Ря содержит континуум различных замкнутых классов, т. е. уже Р3 содержит континуум различных замкнутых классов. Вообще говоря, точная природа такого различия между двузначной и трехзначной логиками неясна. Особый интерес в силу их различных приложений представляют собой бесконечнозначные логики. Исторически первой такой логикой была бесконечнозначная логика Лукасевича Lw (1929), которая определяется следующей матрицей: М = <[0,1];^,~,{1}>,где х —> у = min(l, 1 — х + у), ~х = 1 — х. Почти через тридцать лет L была аксиоматизирована следующим образом: аксиома Йайсберга (4) заменяется аксиомой ((р —> q) —> q)) —> ((q —> p) —> p). Последние десятилетия алгебраические исследования Ьш приобрели исключительный масштаб и можно говорить о новом направлении в алгебраической логике. Другим интересным и весьма важным примером бесконечнозначной логики является интуиционистская логика Н. Еще К, Педель в 1932 показал, что никакая конеч- нозначная матрица не может быть для нее характеристической. В заключение заметим, что ни одно из направлений некласси- ческихлогиктж бурно не развивается, как многозначная логика. Это объясняется всевозможными приложениями и применениями многозначных логик в различных областях науки и техники и особенно в компьютерных науках. Поэтому вопрос о библиографии по многозначной логике заслуживает специального рассмотрения. Литература здесь совершенно необозрима и, по-видимому, имеет тенденцию к экспоненциальному росту. Тем не менее имеется хронологическая, а также хорошо тематизированная библиография в монографии Н. Решера (1969). Р. Вольф (1977) дополнил и довел ее до 1974 с указанием некоторых работ, которые должны были выйти в ближайшем времени. Обширная библиография, включая работы последних лет, содержится в монографии А. С. Карпенко (1997). Важнейшим и основным источником современной литературы по многозначной логике, и в особенности их применению к компьютерным наукам, служат материалы ежегодного международного симпозиума по многозначным логикам (International Symposium on Multiple-\folued Logic), которые проводятся начиная с 1971. В материалах 22-го симпозиума дается обзор и анализ работы первых 21 симпозиумов и приводятся различные статистические данные. Разработана также база данных статей, авторов и тем. Лет.: БочварДА., Финн В. К. О многозначных логиках, допускающих формализацию анализа антиномий, 1.— В кн.: Исследования по математической лингвистике, математической логике и информационным языкам. М., 1972; Они оке. Некоторые дополнения к статьям о многозначных логиках.— В кн.: Исследования по теории множеств и неклассическим логикам. М., 1976; Зиновьев А. А. Философские проблемы многозначной логики. М., 1960; Карпенко А. С. Многозначные логики (монография), в серии «Логика и компьютер», вып. 4. М., 1997; Он оке. Логики Лукасевича и простые числа. М., 2000; Кудрявцев В. Б. О функциональных системах. М., 1981; Он оке. Многозначная логика.— В кн.: Математическая энциклопедия, т. 3. М., 1982; Яблонский С. В. Функциональные построения в k-значной логике.— В кн.: Труды математического института им. В. А. Стеклова, т. 51, 1958; Bok L, Borowik P. Many-valued logics: Theoretical foundations, v. 1. В., 1992; Butler S. W., Butler J. T. Profiles of topics and authors of the International Symposium on Multiple-Wued Logic for 1971 - 1991.- ISMVL, 22th, Sendai., 1992; Computer science and multiple-valued logic: Theory and applications. Amst., 1977 (2nd revised ed. 1984); Epstein G. Multiple-valued logic design: an introduction. Bristol, 1993; KarpenkoA. S. Factor-semantics for n-valued logics.— «Studia Logica», 1983, v. 42, N 2/3; Mahnowski G. Many-valued logics. Oxf., 1993; RescherN. Many-valued logic. N. Y, 1969; Rosser J. A, Turquette A. R. Many-valued logics. Amst., 1952 (2nd ed. 1958); WofR. G. A survey of many-valued logics (1966—1974), in: Modern uses of multiple-valued ю-

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ— учение о множествах Г. Кантора — наука, зародившаяся в середине 19 в. и изучающая свойства множеств произвольной природы. Создание теории мно-

588

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ жеств было подготовлено работами математиков 19 в., ставившими целью разработку оснований анализа. Первые работы в этой области были посвящены числовым множествам и множествам функций (Б. Балъцано, Р. Дедекинд). Уже в этих работах ставился вопрос о количественном сравнении бесконечных множеств: существуют ли различные ступени математической бесконечности, бесконечные множества разной мощности? В 1871—83 Г. Кантор сделал решительный шаг, изучив множества произвольных элементов, и дал почти современное изложение теории кардинальных и ординальных чисел и теории вполне упорядоченных множеств. Он ввел понятие сравнения двух множеств, опирающееся на понятие взаимнооднозначного их соответствия. Выяснилось, что существует бесконечная шкала неравномощных множеств (напр., множество натуральных чисел и множество действительных чисел имеют разные мощности). В отмеченном цикле работ 1871—83 Кантор предложил носящую его имя теорию действительных чисел, доказал счетность множества действительных алгебраических чисел и несчетность континуума, ввел общее понятие мощности, доказал равномощность континуумов разного числа измерений и высказал континуум-гипотезу; ввел различные классы точечных множеств, определил операции пересечения и суммирования множеств, провел различение кардинальных и ординальных чисел и их обобщение на трансфиниты. Наконец, в 1895—97 Кантор дал систематизированное изложение своих трудов и положил теорию множеств в фундамент всей математики. В теории Кантора понятие множества не определяется, а лишь поясняется на примерах (множество всех четных натуральных чисел, множество всех натуральных решений данного алгебраического уравнения и т. д.). Множество считается заданным, если указано характеристическое свойство его элементов. Основное отношение — принадлежность одного множества другому. Общность понятия «множество» дала возможность применять его в любой математической области, и практически вся математика использует язык теории множеств. Однако самому Кантору шаг обобщения дался трудно, и его идеи были встречены современниками по-разному: Р. Дедекинд и Д Гильберт признали выдающееся значение теории множеств, в то время как Л. Кронекер был ее убежденным противником. Широкое признание учение Кантора получило на I Международном конгрессе математиков в Цюрихе, в 1897. Однако в это же время в теории множеств обнаружились противоречия, открытие которых (Г. Кантор, С. Бурали-Форти, Б. Рассел) потрясло все основание математики. Кризис этот продолжается и в настоящее время. Но стоит отметить, что противоречия возникают на самых «верхних этажах» иерархии множеств, когда мы образуем «множество всех множеств», или «множество всех порядковых чисел», или «множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя» и т. д. Т. о., «наивная» теория множеств, т. е. в том виде, как ее создал Кантор, не может быть использована в полном объеме. С одной стороны, несмотря на противоречивость, ею продолжали пользоваться в различных областях математики (как языком, удобным для изложения предмета). С другой стороны, необходимо было исправить существующее положение дел. Были предложены различные выходы из создавшейся ситуации, но их пришлось признать в конечном итоге неудовлетворительными. Кратко эти попытки «ремонта» теории множеств резюмируются в характеристике трех основных течений, сложившихся в основаниях математики: логицизма, интуиционизма и формализма. С точки зрения логицизма математика — отрасль логики. Определения и теоремы математики следует давать и доказывать в терминах логических понятий. Приспосабливая логицистичес- кое построение математики к открытиям противоречий, Рассел с помощью разветвленной теории типов исключил непредикативные определения. Однако Рассел не смог обойтись без аксиомы сводимости, утверждающей, что для каждого ненулевого свойства высшего порядка найдется равнообъ- емное свойство порядка ноль. К числу наиболее современных работ относится работа У. Куайна (W. Quine), предложившего бестиповую аксиоматическую систему теории множеств (ко- нечноаксиоматизируемую) с ограничением на схему аксиом свертывания Зх Vy(ye х <=> ф(у))> где q> — стратифицируемая формула, т. е. формула, получающаяся из формулы языка теории типов «стиранием» типов (в системе Куайна существует, напр., множество всех множеств). Логицизм не смог конструктивным путем достичь своей цели. В интуиционистской математике Л. Брауэр (L. Brouwer) ограничил использование исключенного третьего закона и ввел новую трактовку логических связок и кванторов. Была построена новая математика, включая теорию континуума. Однако эта другая математика в корне отличалась от той, которая развивалась в течение почти трех тысяч лет. Этот путь также оказался далек от решения вопроса обоснования математики. Наконец, выход был предложен Д. Гильбертом в виде «финитной установки» (см. Фанатизм), однако и этот путь оказался неудовлетворительным. Тем не менее именно на этом пути были сделаны, может быть, самые плодотворные и приемлемые для большинства математиков попытки преодолеть кризис. В 1904—08 Э. Цермело (Е. Zermelo) предложил первую систему аксиом, которой оказалось достаточно, чтобы получить все важные для математики результаты и в которой не получалось ни одно из известных противоречий. В настоящее время существуют несколько общепринятых систем аксиоматической теории множеств, из которых наиболее известной является система Цермело—Френкеля. К последней часто добавляют аксиому выбора, которая носит крайне неконструктивный характер и утверждает существование функции выбора для любого семейства непустых попарно дизъюнктных множеств (формулировка впервые дана Цермело в 1904, и он использовал аксиому выбора для доказательства теоремы о возможности вполне упорядочения любого множества). Попытки доказать или опровергнуть аксиому выбора в рамках системы Цермело—Френкеля оказались тщетными (в 1940 К. Гедель доказал, что аксиома выбора совместна с этой системой (при условии непротиворечивости последней)), а в 1963 П. Коэн (R Cohen) доказан совместность отрицания аксиомы выбора с системой (при том же условии непротиворечивости последней). Т. о., одной из попыток выхода из кризиса явилось создание аксиоматической теории множеств, которая занимается изучением фрагментов «наивной» теории множеств, применяя методы математической логики. Для ряда существующих систем аксиоматической теории множеств характерно ограничение схемы аксиом свертывания так, чтобы избежать возникновения противоречий. Это системы Цермело и Цермело—Френкеля. Другой ряд систем характеризуется тем, что в них противоречия устраняются как следствия непредикативных определений. Пример — теория типов Рассела. Наконец, ряд систем преследуют специфические цели (конечность числа аксиом, нестандартные логические средства вывода и т. д.). Это системы Неймана—Геделя—Бернай- са, Куайна и появившиеся за последние 25 лет системы, ос-

589

МНОЖЕСТВЕННОСТЬ МИРОВ нованные на неклассических логиках (в первую очередь — на интуиционистской логике). Аксиоматический подход позволил решить ряд вопросов о соотношении различных аксиоматических систем теории множеств, придать точный смысл вопросам неразрешимости ряда математических проблем (континуум-проблемы, в частности), решить некоторые трудные классические проблемы топологии, теории кардинальных и ординальных чисел. Тем не менее вопрос о непротиворечивости всех этих систем остается открытым. Тесная связь между теорией множеств и философией математики породила много вопросов о природе противоречий и аксиоматизации этой теории. Во взглядах на то, как можно было бы удовлетворительно обосновать теорию множеств, имеются большие расхождения. Но подавляющее число математиков продолжают с успехом применять понятия, методы и результаты этой теории в большинстве разделов математики и твердо верят в то, что усилия по устранению противоречий приведут к ее реабилитации. «Эта позиция отнюдь не исключает готовности интерпретировать теорию множеств совсем не так, как это обычно делается, что соответствует, очевидно, существующей потребности в пересмотре интерпретации логики и математики вообще» (Френкель А, Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966, с. 416). Лит.: Хаудорф Ф. Теория множеств. М.—Л., 1937; Бурбаки Н. Теория множеств. М, 1965; Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-ги- потеза^М., 1969; Куратовский К., МостовскийА. Теория множеств. М, 1970; Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. М., 1973; Александров П. С Введение в теорию множеств и общую топологию. М, 1977; Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985. В. X. Хаханян

МНОЖЕСТВЕННОСТЬ МИРОВ- идея, зародившаяся в Античности в связи с критикой геоцентрических воззрений на природу (Демокрит). В эпоху Возрождения получила развитие в работах Д. Бруно (16 в.). Концепция естественнонаучного (в частности, астрономического) негеоцентризма сыграла в истории науки важную эвристическую роль, позволив преодолеть гелиоцентризм Коперника: переход от «мира» Коперника к «миру» Д. Тершеля, в котором Солнце оказывается одной из звезд в нашей Галактике. Под влиянием этой концепции был осуществлен (уже в 20 в.) переход от «мира» Гершеля к «миру» Хаббла: наша Галактика в свою очередь оказалась не центром Вселенной, а лишь «небольшим» островком в гигантском множестве галактик (Метагалактике). Идея множественности миров в астрономическом смысле на этом не останавливается: в конце 20 в. она побуждает исследователей выдвинуть гипотезу о существовании множества Метагалактик, в котором уже и Метагалактика теряет свое привилегированное положение. В 20 в. идея множественности миров получила дальнейшее развитие не только в мега-, но и в микронаправлении: возникло представление о качественном многообразии материи не только «вширь», но и «вглубь». В результате всех этих процессов первоначальный астрономический негеоцентризм принял более общую форму естественнонаучного негеоцентризма (концепция структурных уровней материи). Суть естественнонаучного негеоцентризма — борьба против абсолютизации «земного» (макроскопического) мира, являющегося естественной средой обитания человека, против произвольной экстраполяции любых конкретных свойств и законов этого мира на другие формы объективной реальности без учета специфики последних. Между тем создание в 19 в. неевклидовой геометрии и теории множеств и открытие в 20 в. теории относительности и квантовой механики показали ограниченность концепции естественнонаучного негеоцентризма и поставили проблему развития и обобщения идеи множественности миров в совершенно новом и весьма неожиданном направлении. Такое обобщение оказалось необходимым в связи с потребностью понять своеобразие перехода от мира обычных «земных», объектов, с которыми человек имеет дело в своей повседневной практике («макромир»), к миру объектов гигантского масштаба («мегамир»), с одной стороны, и к миру микрообъектов («микромир») — с другой. Очевидно, что обобщение идеи множественности миров требует, прежде всего, уточнения понятия «мир». «Мир» выступает как некоторая материальная система, реализующаяся через систему взаимосвязанных атрибутов. Эта взаимосвязь имеет столь же объективный и универсальный характер, как сами атрибуты. Атрибутивный характер движения, пространства, времени, взаимодействия и т. п. и взаимосвязи между ними обусловлен тем, что они выражают то общее, что присуще не одной из сфер бытия, а всем трем сферам бытия (неорганическим, биологическим и социальным системам). Эти общие черты указанных трех сфер бытия фактически представляют собой не что иное, как объективные условия принципиальной наблюдаемости объекта исследования. Очевидно, что объект не может быть принципиально наблюдаемым, если он не обладает таким атрибутом, как взаимодействие. Но взаимодействие предполагает движение, движение — пространство и время и т. п. Т. о., если в качестве единственного необходимого и достаточного критерия объективного существования постулируется принципиальная (т. е. прямая или косвенная, актуальная или потенциальная) наблюдаемость, то необходимые объективные условия этой наблюдаемости должны быть присущи любому объекту. Отказ от одного из этих условий неизбежно должен привести к отказу от принципиальной наблюдаемости и, следовательно, к заключению о невозможности объективного существования соответствующего объекта. Так как атрибуты материального мира являются универсальными характеристиками любого из составляющих его материальных объектов, то все особенности каждого атрибута (в отличие от других атрибутов) универсальны. Эти особенности фиксируются в процессе познания в форме соответствующих «аксиом» (напр., аксиома Архимеда о непрерывности пространства, аксиома Лейбница о неаддитивности целого и т. п.). Развитие математики и физики за последнее столетие показало, что всеобщее содержание таких атрибутов, как пространство, время и пространственное изменение, неоднородно. Положение о неоднородности всеобщего содержания атрибутов материального мира имеет принципиальное значение: оно свидетельствует о том, что в основе самого «здания» материи лежит фундаментальное противоречие между абсолютно и относительно всеобщим содержанием атрибутов, за пределы которого исследователь не в состоянии выйти (как бы это ни хотелось исследователю). Из этого следует важный вывод о многообразии типов каждого атрибута в онтологическом смысле. При наличии взаимозависимости между атрибутами материального мира, если модифицируется какой-то всеобщий признак у одного атрибута, то это затрагивает какие-то признаки у всех других атрибутов. В результате материальная система, реализующаяся через систему соответствующих атрибу-