Ньютон. Закон всемирного тяготения. Самая притягательная сила природы

Коллектив авторов

Как мы уже говорили, анализ бесконечно малых связывает производную и интеграл, а согласно основной теореме анализа производные и интегралы являются обратными величинами. Точнее говоря, если мы хотим рассчитать интеграл символ интеграл^b_af(t)dt, то в соответствии с основной теоремой анализа достаточно вычислить функцию F такую, что F'(t) = f(t) для каждого числа t между a и b; тогда символ интеграл^b_af(t)dt = F(b) – F(a). (Также нужно учесть дополнительное условие – неразрывность функции f.)

Рассмотрим пример: основная теорема анализа делает

вычисление символ интеграл^b_at^2dt довольно простым. Понятие интеграла крайне гибко, так как в зависимости от своей интерпретации он служит для расчета площади, ограниченной параболой или спиралью Архимеда, либо, как мы видели, расстояния, пройденного телом, которое двигается со скоростью v(t)=t^2 .

Используя основную теорему анализа бесконечно малых, достаточно найти функцию F, производная которой будет равна t^2. Общая форма производной функции вида f(t)=t' равна f(t)-nt^n-1. Отсюда получается, что производная функции

равна t^2 , так как F'(t)=nt^n-1 =3 * t^2/3=t^2. Таким образом:

Как мы уже говорили, расстояние, пройденное за четыре секунды телом, движущимся в течение t секунд со скоростью t^2 м/с, дает интеграл символ интеграл^b_at^2dt ; таким образом, достаточно подставить в предыдущую формулу а = 0 и b = 4, чтобы получить

ОТЦЫ АНАЛИЗА

До последней трети XVII века в математическом европейском мире существовал ряд методов для решения абсолютно разных задач: нахождение касательных к кривым, расчет площадей, объемов и центров тяжести, задачи максимальных и минимальных значений и т.д., которые представляют собой зачаточный этап современного анализа. Однако специфика методов, разработанных в каждом конкретном случае для решения определенных задач, не позволяет говорить об общей теории.

ПРОИЗВОДНАЯ КАК КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ

Прямая (секущая) и кривая могут пересекаться в нескольких точках. Математически интересный случай – когда прямая касается кривой только в одной точке Р. Эта секущая будет называться касательной, а Р – точкой касания. Для случая с кривой у = f (х) определим две точки и + h (h – произвольное значение), как показано на рисунке. Когда функция принимает значение f , кривая пересекается двумя прямыми: секущей (S) и касательной (7). Секущая снова пересекает кривую в точке Q, которая соответствует значению f ( + h).

Рассмотрим теперь углы: , образованный секущей с осью ординат; и , образованный

касательной с той же осью. По мере того как а уменьшается и приближается к , прямая S все больше приближается к Т. Этот процесс эквивалентен процессу уменьшения разницы между и + h, из-за чего по мере того, как h стремится к 0, наклон прямой S все больше приближается к наклону прямой Т. В пределе этого сближения наклон обеих прямых будет одинаковым и связанным с производной f в точке . Так доказывается, что значение производной функции в точке – то же, что наклон касательной к этой функции в указанной точке. Математически это выглядит так:

КАВАЛЬЕРИ И РОЖДЕНИЕ ЗНАКА БЕСКОНЕЧНОСТИ

Итальянский иезуит Бонавентура Кавальери (1598-1647) придумал метод определения площадей и объемов и описал его в трудах «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного» (Geome- tria indivisibilibus) (1635) и «Геометрические этюды» (Exercitationes geometricae) (1647). Кавальери предложил разложить геометрические величины на бесконечное количество элементов, или неделимых, которые представляют собой последние возможные значения этого разложения.

Затем он решил представить объемы, поверхности и длины в виде бесконечной суммы неделимых. Британец Джон Валлис (1616-1703), член-основатель Королевского общества, которого можно считать прямым предшественником Ньютона и Лейбница, перевел на арифметическую основу метод неделимых Кавальери и присвоил им числовые значения, превратив таким образом анализ площадей (до того момента исключительно геометрический) в арифметический анализ. В трактате «О конических сечениях» (De sectionibus conicus) (1655) Валлис предложил представить бесконечность при помощи символа oo.

Ньютон и Лейбниц поняли, что за всеми этими внешне разными процессами стоят одни и те же фундаментальные понятия, и связали их в единое целое. Кроме того, ученые разработали несколько общих алгоритмических методов для анализа и решения самых разных задач, среди них – вычисление степеней биномов. Ньютон разработал понятие флюксий – сходное с понятием производной – и показал, что, например, чтобы рассчитать площадь, очерченную кривой, достаточно посчитать флюенту (ньютоновский аналог современных функций), то есть, другими словами, найти интеграл.

Ньютон показал, как эти понятия – дифференциал и интеграл в терминологии Лейбница – могут использоваться для решения не только частных задач касательных, максимальных и минимальных значений или расчета площади, но и бесконечного количества других. В результате ему удалось превратить набор разрозненных операций, совершенных его предшественниками, в общий математический анализ.

Очень скоро изобретение продемонстрировало удивительную эффективность. Благодаря анализу бесконечно малых сложные расчеты площадей, которые принесли Архимеду славу гения, или обратные задачи, над решением которых бились лучшие математики середины XVII века, сегодня являются или, по крайней мере, должны являться упражнениями, доступными для ученика средней школы.