Ньютон. Закон всемирного тяготения. Самая притягательная сила природы
Шрифт:
Однако этот результат лишь кажется абсурдным, поскольку, как показывает предыдущая таблица для наших функций s(t) = sqrt(t) и v(t) = t^2 , когда h – маленькое число, хотя и стремящееся к нулю, оба частных,
вполне имеют смысл и похожи на уже полученные значения: 0,5 для функции s(t) = sqrt(t), и 2 – для функции v(t) = t^2. Немного дальше мы увидим, что на самом деле эти значения совпадают с производными обеих функций в точке 1: s'(1) = 0,5, v’(l) = 2.
Однако деление на ноль, с которым столкнулись при вычислении производной ученые XVII
Следует иметь в виду, что до появления анализа бесконечно малых (а произошло это в конце XVII века) могли изучаться только самые простые виды движения: равномерное движение, при котором пройденное расстояние линейно зависит от времени, скорость постоянна и отсутствует ускорение, или равномерно ускоренное движение, когда пройденное расстояние пропорционально квадрату времени и, таким образом, скорость пропорциональна времени и постоянному ускорению.
Изучение последнего вида движения, которое наблюдается, например, при падении тела под воздействием силы тяготения, потребовало всех мыслительных способностей гениального Галилея, который вник в сущность явления за несколько десятилетий до того, как благодаря анализу бесконечно малых изучение этого типа движения стало относительно простым.
Вернемся к одному из наших примеров: тело в движении прошло расстояние s(t) = sqrt(t) за время t (время мы измеряем в секундах, а расстояние – в метрах). Расчет средней скорости, с которой двигается тело, – задача легкая: например, за период времени между 1 и 4 секундами средняя скорость будет равняться результату деления пройденного расстояния на затраченное время:
Средняя скорость
Но что произойдет, если вместо средней скорости за интервал времени мы захотим измерить мгновенную скорость, с которой движется тело в конкретный момент? Для простоты представим, что мы хотим измерить эту скорость именно в тот момент, когда наступает первая секунда движения. Для этого возьмем изменение времени h и посчитаем среднюю скорость между 1 и 1 + h.
Средняя скорость
Чтобы посчитать мгновенную скорость в первую секунду, достаточно приравнять h к нулю. Но тогда, как и ранее, мы получим не имеющий смысла результат:
Мгновенная скорость в момент времени 1 =
Это происходит потому, что мгновенная скорость соответствует значению производной функции, которая измеряет расстояние s(t) = sqrt(t) при t = 1.
Предыдущая таблица показывала, что значение этой производной должно быть 0,5. Теперь посмотрим как, используя предыдущее выражение, мы можем выполнить кажущееся бессмысленным деление на ноль и получить ожидаемое значение:
Средняя скорость
Далее умножаем числитель и знаменатель на sqrt(1+h) + 1 и сокращаем:
Средняя скорость
Если в этом выражении мы приравняем значение h к нулю, задача меняется, и при h = 0 отсутствует деление на ноль. Как и подсказывала таблица, частное при h = 0 составляет 0,5. В физических терминах это означает:
Мгновенная скорость в момент времени
Таким
ИНТЕГРАЛ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АНАЛИЗА
Другое базовое понятие анализа бесконечно малых – интеграл. Он применяется для измерения площади графика функции.
Пусть у нас есть функция f, определенная между числами a и b, тогда интеграл . символ интегралbaf(t)dt есть площадь образованной функцией фигуры. Символ символ интеграл для записи интеграла ввел Лейбниц, он является стилизацией буквы s – первой буквы слова «сумма». Почему выбор Лейбница пал именно на нее, мы увидим позже.
РИС.1
Понятие интеграла гораздо более объемное, чем понятие площади. В математике его можно использовать, чтобы рассчитывать объем, длину или центр тяжести, а в физике он соответствует понятию работы: работа, необходимая, чтобы переместить тело, на которое воздействует сила f, между положениями a и b, равна символ интегралbaf(t)dt.
Интеграл также необходим для расчета расстояния, пройденного телом, если известен закон его движения (скорость).
Производную и интеграл связывает основная теорема анализа, согласно которой интегрирование обратно дифференцированию. Ньютон называл анализ расчетом флюксий, а мы знаем его как дифференциальное исчисление – это название предложил Лейбниц, второй изобретатель анализа бесконечно малых. Ньютон же считал интегральный анализ обратным анализу флюксий и никогда не стремился дать ему собственное наименование.
Давайте проанализируем простую физическую задачу: какое расстояние прошло тело за 4 секунды от начала движения, если к t секундам оно двигается со скоростью t^2 метров в секунду? Это соответствует функции v(t) = t^2 , которую мы уже рассматривали, и ответ равен символ интегралbat^2dt. Как рассчитывается этот интеграл? Исходя из понимания интеграла как площади, его значение соответствует площади, ограниченной участком функции, имеющим параболическую форму. Точное определение интеграла – если не обращаться к геометрическому пониманию площади – сложный вопрос.
Если мы посмотрим на рисунок 1, то убедимся, что площадь состоит из вертикальных сегментов длины/(Ј), где число t принимает все значения между a и b. Рисунок предполагает, что площадь – это сумма этих сегментов. Далее, эти сегменты, будучи отрезками прямой линии, имеют ширину 0, из-за чего кажется, что их сумма не сможет образовать никакой площади. И снова мы сталкиваемся с бесконечно малым значением ширины этих сегментов, которые требуется сложить. В записи, предложенной Лейбницем, появляется понимание площади, ограниченной кривой, как суммы бесконечно малых: в соответствии с рисунком 1 каждый сегмент графика имеет высоту f(t) и, по Лейбницу, бесконечно малую ширину, которую мы записываем как dt. Площадь этих сегментов равна произведению основания на высоту, то есть f{t)dt, а общая площадь, которую мы хотим вычислить, будет суммой произведений: символ интегралf(t)dt. Какое значение следовало придать этой сумме, Лейбниц и Ньютон – основатели анализа бесконечно малых – так и не объяснили.