Объективное знание. Эволюционный подход
Шрифт:
То, что это не соответствует действительности, было показано Брауэром, который заполнил данный пробел. Я имею в виду теорию Брауэра об отношении между математикой, с одной стороны, и языком и логикой — с другой.
Брауэр решил данную проблему тем, что провел четкое различение между математикой как таковойи ее выражением в языке и ее коммуникативной функцией.Математику саму по себе он рассматривал как внеязыковую деятельность, по существу — как деятельность мысленного конструирования на основе нашей чистой интуиции времени. Посредством такого конструирования мы создаем в нашей интуиции, в нашем уме объекты математики, которые впоследствии — после их создания — мы можем попытаться описать или сообщить о них другим. Таким образом, лингвистическое описание и дискурсивная аргументация со своей
Подход Брауэра к этому вопросу позволяет решить проблему, которую мы обнаружили в кантовской «Критике чистого разума». То, что на первый взгляд выступает у Канта как противоречие, упраздняется самым оригинальным способом посредством концепции, согласно которой мы должны четко различать два уровня: один уровень — интуитивный, мысленный и существенный для математического мышления, другой — дискурсивный, лингвистический и существенный только для коммуникации.
Как и у любой великой теории, ценность этой теории Брауэра проявляется в ее продуктивности. Она одним усилием решает три крупные группы проблем философии математики:
(1) Эпистемологические проблемыистоков математической достоверности (certainty), природы математических данных и природы математического доказательства. Эти проблемы решаются, соответственно, с помощью концепции интуиции как источника знания; концепции, согласно которой мы можем интуитивно усматривать математические объекты, которые конструируем, и концепции, согласно которой математическое доказательство является последовательным конструированием или конструкцией конструкций.
(2) Онтологические проблемыприроды математических объектов и способа их существования. Эти проблемы были решены Брауэром с помощью доктрины, имеющей два аспекта: с одной стороны, конструктивизм,а с другой стороны, — ментализм.Согласно ментализму, все математические объекты находятся в той сфере, которую я называю «вторым миром». Математические объекты — это конструкции человеческого ума, и они существуют единственно как конструкции в человеческом уме. Их объективность, то есть то, что они суть объекты и что они существуют объективно, всецело опирается на возможность повторения их конструирования по нашему желанию.
Таким образом, Брауэр в своей лекции 1912 года (Brouwer1914) предполагал, что для интуициониста математические объекты существуют в человеческом уме, в то время какдля формалиста они существуют «на бумаге» [126] .
(3) Методологические проблемыматематических доказательств. Мы можем упрощенно различать два главных подхода ученых к математике. Одни математики могут интересоваться главным образом теоремами — истинностью или ложностью математических высказываний, другие — главным образом доказательствами: вопросами существования доказательств той или иной теоремы и спецификой таких доказательств. Если преобладающим является первый подход (как это, по-видимому, имеет место, например, для Пойя), тогда он обычно связан с интересом к открытию математических «фактов» и поэтому с платонизированной математической эвристикой. Если же преобладает второй подход, тогда доказательства являются не просто средствами формирования уверенности в теоремах о математических объектах, а самостоятельными математическими объектами. Как мне кажется, так обстояло дело с Брауэром: те построения, которые были доказательствами, не только создавали и утверждали существование математических объектов, они были в то же время сами математическими объектами, возможно даже наиболее важными из таких объектов. Таким образом, утверждать некоторую теорему означало для Брауэра утверждать существование некоторого доказательства для нее, а отрицать ее — означало утверждать существование опровержения, то есть доказательства ее абсурдности. Это непосредственно ведет к отказу Брауэра от закона исключенного третьего, к отрицанию им косвенных доказательств и к тезису, что существование может быть доказано только реальным построением рассматриваемых математических объектов, когда они делаются, так сказать, видимыми.
126
См. конец третьего параграфа указанной работы Брауэра. Он пишет там о существовании не математики, а «математической точности», и так,
Это также ведет к отрицанию Брауэром «платонизма», под которым мы понимаем учение, согласно которому математические объекты обладают тем, что я называю «автономным» способом существования, при котором они могут существовать, не будучи созданы нами и, следовательно, без доказательства своего существования.
До сих пор я пытался понять брауэровскую эпистемологию, исходя прежде всего из предположения, что она проистекает из попытки решить определенную трудность в философии математики Канта. Теперь я перейду к тому, что содержится в названии данного раздела, — к оценке и критике брауэровской эпистемологии.
Исходя из положений настоящего доклада, можно утверждать, что одним из великих достижений Брауэра, по моему мнению, является его понимание того, что математика и, как я могу добавить, весь третий мир созданы человеком.
Эта идея является настолько радикально антиплатоновской, что Брауэр, понятно, не видел возможности ее связи с некоторой формой платонизма, под которой я имею в виду концепцию частичной автономииматематики и третьего мира в том виде, как она описана ранее в разделе 3 этой главы.
Другим великим достижением Брауэра в философском плане был его антиформализм — признание им того, что математические объекты должны существовать до того, как мы сможем говорить о них.
Позвольте теперь мне вернуться к критике брауэровского решения трех групп главных проблем философии математики, сформулированных ранее в настоящем разделе.
(1') Эпистемологические проблемы:интуиция в целом и теория времени в частности.
Я не предлагаю заменить каким-либо другим термином название «интуиционизм». Это название, без сомнения, сохранится, но нам важно отказаться от ошибочной философии интуиции как непогрешимого источника знания.
Не существует авторитетных источников знания, и ни один «источник» не является абсолютно надежным [127] . Все приветствуется как источник вдохновения, стимулирования, включая «интуицию», особенно если она предлагает нам новые проблемы. Однако ничто не является несомненным, и все мы подвержены ошибкам.
К тому же следует подчеркнуть, что кантовское четкое различение интуиции и дискурсивного мышления не может быть нами принято. «Интуиция», какой бы она ни была, в значительной степени является продуктом нашего культурного развития и наших успехов в дискурсивном мышлении. Вряд ли можно принять кантовскую идею об одном стандартном типе чистой интуиции, присущем всем нам (но, возможно, не животным, хотя их перцептуальные возможности сходны с человеческими). Действительно, после того, как мы овладели дискурсивным мышлением, наше интуитивное понимание становится весьма отличным от того, какое было у нас прежде.
127
Я подробно рассмотрел эту проблему в моей лекции «Об источниках знания и незнания» ("On the Sources of Knowledge and of Ignorance"), которая помещена в качестве введения к Popper1963.
Все сказанное справедливо и в отношении нашей интуиции времени. Я лично считаю сообщение Бенджамина Ли Уорфа о чрезвычайно специфической интуиции времени индейцев племени хопи [128] убедительным. Однако даже если это сообщение ошибочно (что, я думаю, маловероятно), оно свидетельствует о возможностях, которые ни Кант, ни Брауэр никогда не рассматривали. Если Уорф прав, тогда наше интуитивное понимание времени, то есть способ, которым мы «видим» временные отношения, частично зависит от нашего языка, наших теорий и мифов, включенных в язык, иначе говоря — наша европейская интуиция времени в значительной степени обусловлена греческим происхождением нашей цивилизации с ее упором на дискурсивное мышление.
128
См. "An American Indian Model of the Universe" в Whorf.