Очевидное? Нет, еще неизведанное…
Шрифт:
Требуется подсчитать время, которое затратил на свой путь каждый из пловцов. Задача, как видите, доступна семикласснику. Позвольте поэтому привести ее решение без пояснений.
Для пловца № 1:
1) tАДА = tАД + tДА;
2) c · tАД = l + v · tАД, tАД = l/c – v;
3) c · tДА = l – v · tДА, tДА = l/c + v;
4) tАДА = l/c – v + l/c + v = 2cl/c2 – v2 = 2l/c · 1/(1 – v2/c2).
Здесь 2l/c = t0 —
Если v/c << 1, то 1/(1 – v2/c2) (1 + v2/c2) [50] . Тогда время, затраченное пловцом № 1 на путь, равно:
50
Здесь впервые используются приближенные вычисления, на которые, несмотря на их важнейшее значение, мало обращают внимания в школе. Поэтому поясним вывод как приведенной формулы, так и еще одной, неоднократно используемой в дальнейшем.
Если очень мало, можно утверждать, что
Доказать это очень просто.
Пункт № 1. Когда мало, то
Действительно, возводя обе части приближенного равенства в квадрат, получаем 1 – 1 – + 2/4.
Правая часть равенства больше левой на 2/4, но если << 1, то 2 совсем уже малая величина и ею можно пренебречь (если, например, = 0,001, 2 = 0,000001).
Итак, с точностью до членов порядка 2,
Пункт № 2. Умножим числитель и знаменатель дроби 1/(1 – /2) на 1 + /2. Получим, что
Как и раньше, можно пренебречь членом 2/4 в знаменателе. Тогда окончательно
Это равенство справедливо с точностью до членов порядка 2. Не следует опасаться, конечно, того, что мы пренебрегали членами порядка 2 не один, а два раза. Это не может сколько-нибудь заметно увеличить ошибку.
Фактически невозможно уловить разницу между тысячью человек, тысячью без одного или же тысячью без двух.
tN1 = t0(1 + v2/c2).
Для пловца № 2 решение чуть-чуть сложнее. Кратчайшим путем из А в В будет гипотенуза треугольника АВВ1, где В1 — то положение, которое занимает конец плота в момент, когда пловец № 2 доплывает до В.
Если пловец № 2 умный, он с самого начала рассчитает свой путь, сделает упреждение на снос плота и «поплывет по гипотенузе». То же самое можно сказать о его обратном пути из В в А.
Время пути находится просто:
1) tАВА = tАВ + tВА = 2tАВ.
2) с2 · t2AB = l2 + v2 · t2АВ, t2АВ = l2/(c2 – v2);
3)
Снова,
И окончательно в этом случае:
tN2 = t0(1 + v2/2c2).
(Заметим, что это время меньше, чем время пловца № 1.)
Как видите:
tN1 – tN2 = t0 · v2/2c2.
Пловец № 1 оказывается в менее выгодном положении, чем пловец № 2. Он вернется назад позже. Если плот повернется на 90°, не изменяя направления движения, пловцы обменяются ролями: № 1 окажется в роли № 2, а № 2 — в роли № 1. Тогда, естественно, пловец № 2 отстанет от пловца № 1.
А теперь достаточно:
заменить воду неувлекаемым эфиром;
плот — прибором Майкельсона, несущимся сквозь эфирное море вместе с Землей;
пловцов — световыми лучами.
И мы получим схему опыта Майкельсона.
Аналогия здесь совершенно точная. В нашем примере строго изложена элементарная теория опыта Майкельсона с точки зрения гипотезы неувлекаемого эфира. Но повторяю, реальная картина существенно усложняется из-за аберрации и преломления света в оптических приборах.
Итак, чтобы убедиться в движении Земли сквозь эфирное море, надо взять источник света и зеркало и измерить время, которое тратит световой луч на путь туда-обратно (см. рисунок на стр. 228 ). При вращении платформы прибора мы согласно сделанному расчету должны уловить, что время пути светового луча изменяется.
Наибольшее время на путь туда-обратно свет затратит, когда плечо AB параллельно движению Земли сквозь эфир; наименьшее — когда это плечо перпендикулярно (в этом случае «эфирный ветер» только несколько «сдувает» в сторону световой пучок). Если мы эту разницу поймаем, то убедимся в движении Земли сквозь эфир. Все очень просто.
Правда, если учесть, что предполагаемая разница времен составляла 1/100 000 000 времени пути светового луча [51] , а свой путь в приборе (несколько метров) он пробегает примерно за стомиллионную долю секунды, может быть, станет яснее, насколько «прост» был опыт Майкельсона.
Максвелл считал практическое осуществление своей идеи абсолютно безнадежным делом, и это совершенно понятно. Ведь необходимая относительная точность измерения (10–8) означает, например, что интервал в несколько тысяч лет надо замерить с точностью до одной секунды.
51
Так как vЗемли = 30 км/сек., то vЗемли/C = 10–4 и (tN1 – tN2) = t0v2/2c2 = t0/2 · 10–8.