Острее шпаги (Клокочущая пустота, Гиганты - 1)

Казанцев Александр Петрович

из квадрата орнамента, z = y + a, то z\2 = x\2 + y\2 будет иметь вид

z\2 = y\2 + (a\2 + 2ay) и x\2 = a (a + 2y). Если a = a\2 и (a + 2y) =

b\2 то x = ab, y = (a\2 - b\2) / 2; z = (a\2 + b\2) / 2.

(см. прилагаемый рисунок: Ostree16)

Из выражения для "y", где в числителе разность квадратов a и b,

ясно, что хотя бы одна из этих величин не может быть четной, иначе

"y" не будет целым числом. Случай с иррациональными числами

рассмотрен в последующем примечании.

Для возрастающих коэффициентов a

и b можно составить таблицу, из

которой вытекает ряд закономерностей, в частности формулировка новой

теоремы. Нечетный катет простейших пифагоровых троек в целых числах

разлагается на два взаимно простых сомножителя, квадраты которых

соответственно равны сумме или разности гипотенузы и второго катета,

то есть в дополнение к теореме Пифагора: a\2 = z - y; b\2 = z + y.

Декарт внимательно выслушал Пьера Ферма, взял в руки составленную им таблицу, лицо его из грозного стало сосредоточенным, потом он горько усмехнулся:

– Друг мой, боюсь разочаровать вас, но стоило ли вам вкладывать столько труда в "изобретение колесницы", известной еще при фараонах?

– Вы правы, Рене, очевидно, при фараонах жрецы бога Тота знали эти ряды, но разве не наш долг вернуть людям утраченные знания?

– Вы не поняли меня, друг мой. Я применил метафору о колеснице, имея в виду, что она известна была и древним римлянам, даже в наше время на ее основе созданы кареты. Просто вам нет надобности применять свой математический дар для вычисления сторон приевшихся всем прямоугольников, поскольку древние оставили нам изящные формулы, дающие значения всех возможных пифагоровых троек.
– И он размашисто написал на листе несколько формул.
– Их связывают чуть ли не с Платоном, их можно найти в X книге "Начал" Евклида*.

_______________

* x = m\2 - n\2; y = 2mn; z = m\2 + n\2. (Примеч. авт.)

– Простите, что я вступаю в ваш высоконаучный разговор, почтенные знатоки чисел, - вмешался звездочет, - но арабской науке действительно известны эти древние формулы, правда, в несколько другом написании. Однако, к сожалению, до нас не дошел их вывод. Впрочем, в том, что они дают верный результат, я имел, по воле аллаха, возможность убедиться всякий раз, когда их применял, подобно тому, как это делал сам Диофант.

Пьер Ферма нахмурился, пристально глядя на свои и написанные Декартом формулы:

– Они выводятся очень просто, почтенные господа, из тех самых выражений, которые позволили мне составить таблицу.
– И Пьер Ферма показал, как удивительно простым способом можно получить эти древние формулы*.

_______________

* Примечание автора для особо интересующихся. Если положить a =

m + n; b = m - n, то x = ab = (m + n) (m - n) = m\2 - n\2; y = 2mn; z

= m\2 + n\2, что и было записано Декартом.

ТАБЛИЦА ПРОСТЕЙШИХ ПИФАГОРОВЫХ ТРОЕК

(см. прилагаемый рисунок: Ostree17)

(Цифры в скобках получаются после сокращения на общий множитель и равны

цифрам столбца при b = 1.)

– Не могу отказать вам в математическом остроумии, но нахождение вывода старых формул не может подняться до значения самих этих формул. Так что я не вижу, к сожалению, смысла в вашей умственной расточительности ради повторения давно человечеством пройденного.

Пьер Ферма покраснел, потом побледнел, пронизывающе смотря на составленную им таблицу рядов, которую в эту минуту изучал арабский звездочет.

– Простите мне во имя аллаха, мои высокочтимые гости, что я рискую обратить ваше внимание на то, что в составленной молодым гостем таблице я вижу весьма примечательные особенности, которые, надо думать, он подметил и обосновал. Кроме того, можно увидеть, что тройки, вычисленные по древним формулам, не окажутся, как в таблице господина Пьера Ферма, простейшими числами. Произвольно задаваясь величинам m и n, мы получим после вычислений хаотические, беспорядочные, как россыпь разноцветных камней, значения всевозможных прямоугольных треугольников, отнюдь не способствующих выявлению законов их построения.

– Вы правы, уважаемый Мохаммед эль Кашти, таблица троек действительно дает возможность установить некоторые зависимости как в вертикальных рядах, так и в рядах, соседствующих по горизонтали.
– И он познакомил слушателей с тем, что открыл*. По просьбе арабского ученого особенно остановился Пьер Ферма на выборе коэффициента a и b в своих формулах.

_______________

* Примечание автора для особо интересующихся. Вертикальные ряды

x представляют собой арифметические прогрессии с показателем = 2b.

Все значения сторон треугольников с возрастанием ряда изменяются по

арифметической прогрессии, показатель которой для y - постоянен и

равен 4, а для x и z увеличивается с порядковым номером ряда и

порядкового номера тройки в вертикальном ряду и равен 4 (b + i - 1),

где i - порядковый номер тройки в ряду.

– Вас интересует, уважаемый Мохаммед эль Кашти, случай, когда коэффициенты a и b содержат общий множитель v21?
– И он показал с убедительной простотой, что в этом случае получающиеся тройки будут повторять все первые тройки соседних по горизонтали рядов*.

_______________

* Примечание автора для особо интересующихся. Если a = pv2e, b =

qv2e, то p и q могут быть и четными и нечетными, x = ab = 2pqe, y =

(p\2 - q\2) e; z = (p\2 + q\2) e, то есть p и q тождественны m и n

древних формул (см. пред. примеч.), x и y просто меняются местами, к

тому же, помноженные на e, не являются простейшими.

– Вы убедили меня, почтенный знаток и поэт чисел. Видит аллах, с каким благоговением я стараюсь вникнуть в найденные вами числа и мудро расставленные по клеткам таблицы, кажущейся мне поистине волшебной. Но я покажу почтенным господам, какие тайны хранит в себе эта простенькая таблица.