Открытие без границ. Бесконечность в математике
Шрифт:
{O}, {а}, {b}, {с}, {d}, {а, b}, {а, с}, {а, d}, {b, с}, {c, d}, {с, d}, {а, b, с}, {а, b, d}, {а, с, d}, {b, с, d}, {а, b, с, d}, —
итого 16 подмножеств.
Заметим, что 24=16, таким образом, число подмножеств А равно 2 в степени, равной числу элементов А. Нетрудно доказать, что это соотношение справедливо для всех множеств. Таким образом, для любого множества, содержащего n элементов, число его подмножеств будет равно 2n.
Множество, образованное всеми подмножествами А, называется множеством степенью A и обозначается
Изложенный выше результат можно записать так:
Учёному принадлежит доказательство нескольких теорем, но когда речь идёт о теореме Кантора, обычно имеют в виду именно этот результат, который можно записать в виде
|А|< 2|A|
Теорема Кантора позволяет упорядочивать бесконечности. Кантор считал, что «самая маленькая» бесконечность соответствует кардинальному числу множества
Таким образом, имеем
По теореме Кантора получим:
Последовательность кардинальных чисел, фигурирующую в этом неравенстве, Кантор назвал числами алеф, присвоив каждому из них порядковый номер: алеф-ноль, алеф-один и т. д. Они записываются буквой еврейского алфавита алеф с индексом:
Это так называемые трансфинитные числа.
В упорядоченной последовательности трансфинитных чисел содержится любое число, которое может существовать, в том числе такое, которое мы даже не можем себе представить. Если до Кантора считалось, что ничто не может быть больше бесконечности, то благодаря его открытиям мы можем с уверенностью утверждать, что всегда существует другая бесконечность, которая будет больше данной. Кантор превзошёл самого Создателя: сколь большое число ни создал бы Бог, всегда будет существовать другое, большее число. И этот научный результат противоречил религиозным взглядам самого Кантора.
ПОЧТИ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
За рамки нашей конечной природы выходят не только бесконечные или трансфинитные числа.
Например, число
которое может быть результатом неких математических расчётов, невероятно велико. Процессор компьютера, выполнив необходимые инструкции, может получить это число за разумное количество шагов. Это возможно потому, что и язык математики, и языки программирования предоставляют все необходимые для этих вычислений инструменты. Но если бы нам потребовалось записать все цифры этого числа на бумаге, мы не смогли бы этого сделать: для такой записи требуется лист бумаги, число частиц в котором превышает число частиц во всей Вселенной.
Континуум-гипотеза
Пока что мы говорили о кардинальности применительно к множеству. Мы увидели, что понятие кардинальности обозначает число элементов множества, а также что каждому элементу конечных множеств можно последовательно присвоить натуральное число. С другой стороны, когда речь идёт о множествах с бесконечным числом элементов, пронумеровать их составляющие можно с помощью взаимно однозначного соответствия, при котором каждому элементу множества ставится в соответствие натуральное число. Множества, для которых возможно установить такое соответствие, называются счётными. Однако мы также увидели, что существуют множества, которые не являются счётными, и чтобы как-то обозначить количество их элементов, нам пришлось обратиться к понятию кардинальности. Таким образом, кардинальность множества — это не совсем число, а скорее понятие, связанное с числовой величиной. По сути, на этом понятии основан удивительный трюк, позволяющий узнать, насколько велико множество. Заключается он в сравнении множеств по определённым правилам, которые позволяют однозначно сказать, когда множества одинаково велики, а когда — нет. При этом не имеет значения, о конечных или бесконечных множествах идёт речь.
СВОБОДА МАТЕМАТИКИ
Можно сказать, что в настоящее время мечта Кантора о свободной математике полностью сбылась. По меньшей мере, никто и ничто (в так называемых цивилизованных странах) не ставит палки в колёса авторам математических теорий по философским или религиозным причинам.
Сегодня в математике используются так называемые «большие кардиналы», которые столь велики, что рядом с ними трансфинитные числа Кантора кажутся карликами. Их определение очень сложно, хотя они строятся по правилам, схожим с теми, что применяются к алеф-числам: рассматривается последовательность множеств, включённых одно в другое, затем анализируются соответствующие множества их частей.
Кантор назвал алеф-нулём кардинальное число множества натуральных чисел
В соответствии с этим
Однако числа алеф образуют возрастающую последовательность
Здесь Кантор сформулировал следующий вопрос: существует ли такой кардинал, который заключён между кардинальным числом множества натуральных чисел и континуумом? Каким-то образом ему удалось понять, что выполняется равенство
Иными словами, не существует множества, размер которого заключён между размером множества натуральных и вещественных чисел, — эта гипотеза называется континуум-гипотезой. Чтобы доказать её, Кантору потребовалось приложить невероятные усилия. Не раз он считал, что континуум-гипотеза доказана, но ему так и не удалось сформулировать доказательство, которое его полностью устраивало бы.