Открытие без границ. Бесконечность в математике

Грасиан Энрике

Защита докторской диссертации позволила Кантору занять должность приват-доцента в университете Галле. Жалование учёного напрямую зависело от числа студентов, посещавших его занятия, но Галле был небольшим городом близ Лейпцига, и университет здесь был гораздо менее престижным, чем Берлинский или Гёттингенский. Кантор понимал это, но никогда не пытался покинуть Галле и проработал там до конца жизни.

В 1873 году учёный впервые предположил возможность существования разных видов бесконечности. Он чувствовал, что между множеством натуральных чисел и множеством вещественных чисел могут существовать не только качественные, но и количественные различия. Качественные различия были ясны: множество натуральных чисел является счётным, а множество вещественных чисел — нет. Если бы кто-то смог доказать, что бесконечное множество вещественных чисел больше, чем бесконечное

множество натуральных, это стало бы настоящим потрясением для математики в целом. Первое доказательство, сформулированное Кантором, было опубликовано в 1874 году в журнале Крелле. Следует учитывать, что в то время о множествах нельзя было говорить так свободно, как мы это делаем сейчас. Первая работа Кантора на эту тему вышла в 1878 году под названием «Вклад в теорию множеств» и также была опубликована в журнале Крелле. Статья содержала абсолютно неожиданные результаты, касавшиеся алгебраических чисел. В ней шли первые наброски идей о трансфинитных числах, и эта работа ознаменовала начало нового этапа в математике. Однако прежде чем идеи Кантора получили признание в научных кругах и он смог занять должность, позволявшую продолжить работу, ему пришлось преодолеть тернистый путь: некоторые математики, в том числе его бывший преподаватель Кронекер, активно выступили против Кантора и препятствовали его карьере, что было для учёного очень серьёзным потрясением.

Университет Галле, в котором Кантор преподавал начиная с 1872 года. Учёный прожил в этом маленьком немецком городе до самой смерти.

Научные журналы

В 1826 году Август Леопольд Крелле (1780–1855) основал Journal fur die reine und angewandte Mathematik («Журнал о чистой и прикладной математике»). Его название указывало цель, к которой стремился основатель: восстановить единство математики, которая, в отличие от Средних веков или эпохи Возрождения, в то время была чётко разделена на два самостоятельных направления — чистую и прикладную. Впрочем, математические журналы — лишь один из видов научных журналов.

Первый научный журнал в истории был основан под эгидой Лондонского королевского общества и ознаменовал неизбежное: распространение научных публикаций и их характер отныне определяли научные общества. Если говорить о первых изданиях, посвящённых исключительно математике, в частности об «Анналах математики» Жергонна или журнале Крелле, то следует отметить несколько интересных моментов. Во-первых, объём публиковавшихся в них работ был меньше, чем в сборниках научных трудов. Во-вторых, в журналах не издавались старые тексты.

Обязательным условием публикации были новизна и оригинальность работы. Ещё одним интересным моментом стало то, что в этих журналах впервые стали выпускаться совместные работы, а не труды, выполненные исключительно силами одного учёного, как было до сих пор.

* * *

СИЦИЛИЙСКАЯ МАТЕМАТИКА

Любопытно, что одно из первых математических сообществ появилось в городе Палермо, и центром его стал журнал Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, основанный итальянским математиком Джованни Баттистой Гуччиа (1855–1914). Обосновывая авторитетность нового математического общества, Гуччиа отмечал, что оно появилось в стране с «выдающейся математической родословной». Гуччиа также учредил несколько премий, и это привело к тому, что свои работы в его журнал стали отправлять выдающиеся математики. За короткое время журнал неожиданно получил международное признание, заняв одно из первых мест в списках международных математических сообществ.

Джованни Баттиста Гуччиа

* * *

Основной целью математических сообществ был максимальный охват территории, регулярное издание математических журналов и предоставление необходимых для их распространения средств. Однако время показало, что без поддержки официальных учреждений решить эти задачи невозможно. Научные

сообщества неизбежно попадали под определённое влияние общества и политических элит, так как они стали частью культурной идентичности государств. С одной стороны, правительственная поддержка научных сообществ очень важна, с другой — международное научное сотрудничество могло оказаться под угрозой по политическим причинам. Кроме того, органы, контролирующие допуск работ в печать, могли быть не так объективны, как этого хотелось учёным. Время показало, что математические сообщества препятствуют публикации некоторых новаторских работ, которые нарушают установленные каноны, не всегда имеющие отношение непосредственно к науке. Показательно, что две трети всех статей по математике, вышедших в 1900 году, были опубликованы не в математических журналах.

Среди первых научных сообществ, которые начали появляться уже в середине XIX века, наиболее важными (в порядке появления) были Московское математическое общество (1864), Лондонское математическое общество (1865), Французское математическое общество (1872), математический кружок Палермо (1884), Американское математическое общество (1888), Немецкое математическое общество (1890).

* * *

НЕОСМОТРИТЕЛЬНЫЙ МАТЕМАТИК

Научный журнал, созданный Генри Ольденбургом в 1665 году, издаётся до наших дней. Его издание прерывалось только дважды: в первый раз — из-за эпидемии чумы в Лондоне, во второй раз — из-за болезни Ольденбурга, всё своё время посвящавшего работе. Его энтузиазм был так велик, что каждую неделю он писал для журнала пять колонок. Ольденбург считал, что наука не знает границ, поэтому продолжал публиковать свои статьи даже во время войны. Но в те времена это было очень неосмотрительно, и Ольденбург на три месяца был заключён в Лондонский Тауэр.

Противоречивость бесконечности

Кронекер как-то сказал: «Бог создал первые десять чисел, всё остальное создал человек», выразив тем самым, сколь велика заслуга математики. По его мнению, всё в математике должно было строиться из известных, чётко определённых элементов и за конечное число этапов. Иными словами, Кронекер не хотел ничего слышать об актуальной бесконечности. Как-то раз он заявил, что от бесконечности следует отказаться как от

«…пагубной бессмыслицы, унаследованной от древней философии и запутанной теологии. Без неё мы можем достичь всего, чего захотим…»

Кронекер был явным последователем финитизма, а также операционизма, в котором не признаются никакие рассуждения, не подкреплённые чётко определёнными математическими операциями. Он заявил, очевидно, имея в виду труды Кантора, что математике необходим контроль со стороны признанных учёных, так как

«богатый практический опыт решения полезных и интересных задач даст математике новый смысл и новый импульс. Однобокие и интроспективные умозрительные заключения не дают плодов».

Следует учитывать, что Кронекер был одним из редакторов журнала Крелле, поэтому неудивительно, что в 1877 году он отклонил все рукописи, переданные Кантором для публикации в этом журнале. Расхождение во взглядах переросло в личную неприязнь, и Кронекер публично назвал Кантора ренегатом, шарлатаном и совратителем учащейся молодёжи.

Не будем забывать, что Кантор был лучшим учеником Кронекера, естественно, что он очень болезненно переживал подобное отношение учителя и получил глубокую психологическую травму, от которой ему так и не удалось оправиться.

Дедекинд

Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831–1916), который родился в Брауншвейге и был четвёртым ребёнком в зажиточной семье, большую часть жизни посвятил математическим исследованиям. Он был алгебраистом и стремился сформировать фундаментальную основу анализа, для чего в качестве базы выбрал множества и отображения множеств.

Вейерштрасс, Кантор и Дедекинд независимо друг от друга работали над определением вещественных чисел. Работы Кантора и Дедекинда стали классическими и вошли в учебники. Труды Кантора, в основе которых лежала теория множеств, были наиболее близки Дедекинду, особенно потому, что оба они работали над большой темой непрерывности пространства, носившей больше философский, нежели математический характер. И Кантор, и Дедекинд утверждали, что доказать непрерывность пространства абсолютно невозможно. Максимум, что можно сделать, — это принять гипотезу о непрерывности пространства в качестве постулата.