Парадоксы роста. Законы глобального развития человечества

Капица Сергей Петрович

Демографические циклы определяют периодичность развития всего человечества за 4–5 млн лет, включая проходящий по гиперболическому закону рост от конца антропогенеза до наших дней. Наличие выделенных антропологами и историками демографических циклов, как эпох развития человечества, указывает на глобальную устойчивость системы при ее развитии по предельной траектории гиперболического роста.

Для дальнейшего перейдем к переменной n = N/K, когда население Земли измеряется в единицах K:

Тогда

уравнения для роста становятся симметричными, и это видно по сопряжению переменных n и t. Смена зависимой переменной в (16a) и (16d) происходит при прохождении перехода, когда n становится независимой переменной вместо времени t, что выражено в уравнении роста (3).

Из (15) следует, что после каждого цикла до демографического перехода остается половина времени длительности цикла:

что вполне подтверждается данными истории и антропологии (см. табл. 2).

Рост населения можно иллюстрировать геометрическим построением функции тангенса:

где угол = отображает течение времени, а приращение населения N = 1 и N₀ = 1 (см. рис. 19).

Линейный рост будет продолжаться до A,B = K = 1 и NB = tanl в точке В на касательной АС. Дальнейший рост N = K (/2 – )–1 будет проходить по гиперболе, при которой время асимптотически стремится к /2, а население достигнет значения NС = pK²/2. Когда система приближается к моменту особенности, то от уравнения (16а) следует переходить к уравнению (16d), чтобы описать рост при прохождении особенности в течение эпохи С.

Построение на рис. 19 показывает, что после перехода от линейного к гиперболическому росту на эпоху В остается в два раза меньше времени, чем в начальную эпоху А. Для всей эпохи В время от T₀ до T₁ при K = 7 разделено на 11 интервалов. Поскольку /2 11/7, то NC = K² =49 в момент обострения. Однако даже при таком малом значении K, когда ln 7 = 1,95 дает хорошую оценку l + ln K 3 для числа демографических циклов.

Таким образом, нулевой цикл А антропогенеза продолжался 7 единиц времени, первый цикл длился 3 и последний – 1 единицу времени. Это построение показывает, как дискретность времени и населения приводит к появлению периодичности роста, выраженной в демографических циклах.

Линейный рост описывает развитие системы от начальной сингулярности роста при N₀ = 1 и положительных значений N.

Далее следует рост по гиперболе и в конце – cингулярность демографического взрыва. Построение, когда переменные n и t при прохождении перехода меняются местами, мы оставляем читателю.

На рис. 20 показаны функции, описывающие рост системы при K = 1, которые появляются при построении решения, начинающегося с сингулярности в эпоху А, переходящего затем в эпоху В гиперболического роста и завершающегося эпохой С. Асимптотический переход решений, описывающий рост в начале развития и на его конечном участке, получим, обратившись к рядам для функции cot–1(t/K) и cot(t/K):

Эти функции пересекаются в точке А, посередине роста при логарифмическом представлении между временем Т0 и Т1, соответствующей наступлению неолита:

под углом 2/(3 K) и практически гладко при K >>1.

Очевидно, что решение можно строить, отсчитывая время от T₀ – от эпохи антропогенеза A при t₀ = 0. Тогда, исключив t из (16c), получим одно автономное дифференциальное уравнение, описывающее рост в зависимости oт состояния системы, которое определяется населением Земли:

где последний член добавлен с тем, чтобы рост в эпоху А никогда не был меньше одного гоминида при = .

Интегрируя (20) и при значениях K > 1 и начальных условиях t₀ = n₀ = 0, получим решение:

Это решение показывает симметрию переменных N и T – населения и времени. Для развития в течение эпохи В вдали от особенностей роста это выражено в (16в) и следует из сложности причинных связей в рамках развитых представлений о нелинейной динамике глобальной системы населения нашей планеты.

Для того чтобы выяснить устойчивость развития, следует обратиться к уравнению роста человечества (20). На основании (15) в линейном приближении устойчивость роста к возмущениям определяется показателем Ляпунова развития неустойчивости в системе населения (рис. 21):

По этому критерию при > 0 движение до перехода неустойчиво и только после перехода развитие системы становится асимптотически устойчивым и впредь таким и остается. Более полное определение устойчивости потребует введения распределений для N и обращения к методам статистической физики при обобщении модели.