Поиски истины
Шрифт:
Красота логических построений в самом чистом виде проявляется в математике. Так, математика изучает все возможные геометрии пространства с произвольным или даже бесконечным числом измерений. Математическая ценность и красота этих результатов не зависят от того, какая именно из геометрий осуществляется в нашем трехмерном мире.
Один из удивительных примеров математической красоты - это «алгебра высказываний», или «алгебра логики», позволившая анализировать законы и возможности логических заключений.
Еще у Аристотеля была идея составлять сложные рассуждения, последовательно применяя более простые элементы,
Обычная алгебра, которую учат в школе, не единственно возможная. Если вы увидите книгу под названием «Алгебры Ли», не думайте, что множественное число - это опечатка.
Можно определить понятия сложения и умножения объектов и при этом отказаться от аксиом обычной алгебры, например от предположения, что результат умножения не зависит от порядка сомножителей. Получится другая алгебра. Причем анализ соотношений в ней целиком определяется принятыми аксиомами о свойствах операций и не зависит от ее конкретного воплощения. «Действенность анализа зависит не от истолкования символов, а исключительно от законов их комбинации» - так выразил суть и силу математической абстракции Джордж Буль, автор книги «Исследование законов мысли».
Буль построил алгебру на такой системе аксиом (или, как говорят математики, «исследовал структуру»), которая описывает свойства высказываний. Одновременно эта же структура представляет и алгебру релейных электрических цепей, без которой невозможно построение сколько-нибудь сложной ЭВМ. Только на основе подобной математической, или символической, логики возможно научное обсуждение таких волнующих человечество проблем, как выяснение мыслительных возможностей ЭВМ и создание искусственного интеллекта.
Элементами алгебры высказываний служат простые суждения, вроде «в этой книге больше ста страниц» или «протон состоит из трех кварков». Они обозначаются буквами А, В, С… Два высказывания считаются равными, если истинность одного означает и истинность другого. Например, если А - «сегодня 10 мая», а В - «послезавтра 12 мая», то А = В.
Сумма А + В означает новое высказывание, которое получается соединением А и В союзом «или» в том смысле, что справедливо, по крайней мере, одно из двух высказываний А или В. Если А - «я люблю тебя», а В - «ты любишь меня», то А + В означает либо «я люблю тебя», либо «ты любишь меня», либо «мы любим друг друга». Мы используем для этой операции знак «плюс», следуя книге И. М. Яглома «Булева структура и ее модели» (М., «Советское радио», 1980).
Отсюда следует одно из отличий этой алгебры от школьной: повторение высказывания не означает нового утверждения. Поэтому А+А = А.
Определим произведение АВ как высказывание, которое получается соединением А, В союзом «и». С = АВ в нашем примере означает: «я люблю тебя и ты любишь меня = мы любим друг друга». Тогда А2 = А. Нетрудно получить и более сложное соотношение:
АВ + С = (А + С) (В + С).
Введем отрицание. А - отрицание А. Если А - «электрон массивнее протона», то А - «электрон не
массивнее протона». Тогда А = А и АА = 0. Под знаком О следует понимать заведомо неверное
Мы не будем двигаться дальше, уже этого немногого достаточно, чтобы почувствовать идею исчисления высказываний. Тем, кто заинтересовался, будет полезно почитать упомянутую книгу Яглома.
Интересна судьба автора этой удивительной алгебры. Джордж Буль (1815-1864) родился в Англии в бедной семье. Он не учился ни в одном учебном заведении, окончив лишь начальные классы школы для бедных. Самостоятельно изучив латынь и древнегреческий, двенадцатилетний Буль стал печатать в местных изданиях свои переводы Горация. После долгих поисков работы, которая оставляла бы ему время для самообразования, Буль открыл маленькую школу, в которой был единственным преподавателем. К счастью, два влиятельных математика - Д. Грегори, издававший математический журнал, и О. де Морган, профессор Кембриджского университета, оценили оригинальность и глубину мысли первых работ Буля. В 1849 году он сделался профессором математики в колледже города Корк в Ирландии. Здесь он женился на Мэри Эверест, родственнице бывшего председателя геодезического комитета Индии, именем которого была названа самая высокая вершина мира - Эверест (Джомолунгма). Одна из дочерей Буля - Этель Лилиан - вышла замуж за польского революционера Войнича и стала известна у нас как автор романа «Овод». Как переплетаются судьбы и события!
Совсем другого рода красота логических построений в физике. В математике правильность интуитивной догадки проверяется логически; в физике же, изучающей
мир вещей, верховный судья - эксперимент. Необязательно каждый раз обращаться к нему для проверки теории, чаще всего теория опровергается или подтверждается при тщательном анализе сделанных ранее экспериментов или вытекающих из них соотношений. Теоретические построения в физике требуют постоянного согласования с тем, что мы уже знаем об окружающем мире. Физическая теория - не логическое следствие из принятых аксиом, а здание, построенное на правдоподобных предположениях, которые предстоит проверить. Казалось бы, здание строится на шатких основаниях, но слабые звенья постоянно заменяются более крепкими, и здание делается все прочнее.
В главе «Как работают физики» будет много примеров того, как неуклонно приводит к цели метод проб и ошибок. Вы увидите, как мало было оснований для гениальной догадки де Бройля о волновых свойствах частиц: раз свет - и волна и частица, почему бы электрону тоже не быть сразу и частицей и волной! Или другой пример: уравнение Шрёдингера, блестяще объяснившее свойства атома еще до того, как смутные и тончайшие соображения привели к пониманию физического смысла волновой функции.
Есть особая прелесть в этих поисках в потемках, где проводник - шестое чувство!
Математик не может без негодования смотреть, «как физик суммирует бесконечные ряды, предполагая при этом, что два-три члена ряда дают хорошее приближение ко всему ряду, и вообще живет в царстве свободы, нарушая все «моральные нормы». Но вместе с тем эффективность «колдовства» физиков… оставляет математика в состоянии немого изумления». Я цитирую книгу Ю. И. Манина «Математика и физика» (М., «Знание», 1979). Очень жаль, что глубокие и остроумные замечания этой книги адресованы в основном математикам.