Приглашение в теорию чисел

ОРЕ О.

τ(n) = (α₁ + 1) (α₂ + 1)… (α_r + 1). (3.2.3)

Система задач 3.2.

1. Сколько делителей имеет простое число? Сколько делителей имеет степень простого числа р^α?

2. Найдите количество

делителей у следующих чисел: 60, 366, 1970, вашего почтового индекса.

3. Какое натуральное число (или числа), не превосходящее 100, имеет наибольшее количество делителей

§ 3. Несколько задач о делителях

Существует единственное число n = 1, которое имеет только один делитель. Числами с ровно двумя делителями являются простые числа n = р: они делятся на 1 и на р. Наименьшим числом, имеющим два делителя, является, таким образом, р = 2.

Исследуем числа, имеющие ровно 3 делителя. В соответствии с (3.2.3) имеем

3 = (α₁ + 1) (α₂ + 1)… (α_r + 1).

Так как 3 — простое число, то справа может существовать лишь один множитель, не равный 1. Отсюда r = 1, a α₁ = 2. Таким образом,

n = p₁².

Наименьшим числом с 3 делителями является n = 2² = 4. Это соображение, примененное к общему случаю, когда число делителей q является простым числом, позволяет получить, что

q = α₁ + 1, т. е. α₁ = q — 1 и n = р₁^{q– 1};

наименьшим из таких чисел является

n = 2^{q– 1}.

Рассмотрим следующий случай, когда существует ровно 4 делителя. Тогда соотношение

4 = (α₁ + 1) (α₂ + 1),

возможно только тогда, когда

α₁ = 3, α₂ = 0 или α₁ = α₂ = 1.

Это приводит к двум возможностям:

n = p₁³, n = p₁ p₂;

наименьшее

число с 4 делителями — это n = 6.

В том случае, когда имеется 6 делителей, должно выполняться соотношение

6 = (α₁ + 1) (α₂ + 1),

что возможно лишь тогда, когда

α₁ = 5, α₂ = 0 или α₁ = 2, α₂ = 1.

Это дает две возможности:

n = p₁⁵, n = p₁² p₂;

при этом наименьшее значение имеет место в последнем случае, когда

p₁ = 2, p₂ = 3, n =12.

Этот метод можно использовать для вычисления наименьших натуральных чисел, имеющих любое заданное количество делителей.

Существуют таблицы, указывающие количество делителей для различных чисел. Они начинаются следующим образом:

Вы легко можете ее самостоятельно продолжить.

Будем говорить, что натуральное число n является сверхсоставным, если количество делителей у каждого числа, меньшего n, меньше, чем количество делителей у числа n. Глядя на нашу небольшую таблицу, мы видим, что

1, 2, 4, 6, 12

являются первыми пятью сверхсоставными числами. О свойствах этих чисел известно еще очень мало.

Система задач 3.3.

1. Взвод из 12 солдат может маршировать 6-ю различными способами: 12 × 1, 6 × 2, 4 × 3, 3 × 4, 2 × 6, 1 × 12. Какую наименьшую численность должны иметь группы людей, которые могут маршировать 8, 10, 12 и 72 способами?

2. Найдите наименьшие натуральные числа, имеющие: а) 14 делителей, б) 18 делителей ив) 100 делителей.

3. Найдите два первых сверхсоставных числа, следующих за числом 12.

4. Охарактеризуйте все натуральные числа, количество делителей которых является произведением двух простых чисел.

§ 4. Совершенные числа

Нумерология (или гематрия, как ее иногда еще называют) была распространенным увлечением у древних греков. Естественным объяснением этому является то, что числа в Древней Греции изображались буквами греческого алфавита, и поэтому каждому написанному слову, каждому имени соответствовало некоторое число. Люди могли сравнивать свойства чисел, соответствующих их именам.