Приглашение в теорию чисел

ОРЕ О.

1/2 x = 12 • 1 = 4 • 3.

Первое разложение дает

m = 12, n = 4, х = 24, y = 143, z = 145,

а второе

т = 4, n = 3, х = 24, у = 7, z = 25.

Третий и последний случай приводит нас к необходимости коснуться одной важной задачи теории чисел. Если z — гипотенуза простейшего треугольника Пифагора, то в соответствии с (5.2.7) имеем

z = m² + n². (5.3.5)

т. е.

число z есть сумма квадратов чисел m и n, удовлетворяющих условиям (5.2.8).

Это приводит нас к постановке вопроса, уже решенного П. Ферма: когда целое число можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел:

z = a² + b²? (5.3.6)

На время забудем все ограничения на числа а и b. Пусть они могут иметь общие множители, а также каждое из них, или даже сразу оба могут обращаться в нуль. Перечислим все целые числа, меньшие десяти, представляемые в виде суммы двух квадратов:

0 = 0² + 0², 1 = 1² + 0², 2 = 1² + 1², 4 = 2² + 0², 5 = 2² + 1², 8 = 2² + 2², 9 = 3² + 0², 10 = 3²+1².

Оставшиеся числа 3, 6 и 7 не представляются в виде суммы двух квадратов.

Опишем, как можно выяснить, является ли число суммой двух квадратов. К сожалению, мы не можем привести здесь доказательства ввиду его сложности.

Рассмотрим вначале простые числа. Каждое простое число вида р = 4n + 1 всегда является суммой двух квадратов; например,

5 = 2² + 1², 13 = 3² + 2², 17 = 4²+1², 29 = 5² + 2².

Существенно, что такое представление может осуществляться единственным способом.

Остальные нечетные простые числа имеют вид q = 4n + 3, т. е.

q = 3, 7, 11, 19, 23, 31…

Ни одно такое простое число не представляется в виде суммы двух квадратов; более того, вообще ни одно число вида 4n + 3 не может быть представлено в виде суммы двух квадратов. Чтобы убедиться в этом, заметим, что если целые числа а и b оба четные, то а² и b² оба делятся на 4, отсюда и а² + b² делится на 4. Если они оба нечетные, например, а = 2k + 1, b = 2l + 1, то а² + b² = 4k² + 4k + 1 + 4l² + 4l + 1 = 4 (k² + l² + k + l) + 2, поэтому а² + b² имеет при делении на 4 остаток 2. И наконец, если одно из целых чисел а и b четное, а другое — нечетное, скажем, а = 2k + 1, b = 2l,

то а² + b² = 4k² + 4k + 1 + 4l² и имеет при делении на 4 остаток 1. Итак, мы перебрали все возможности и можем заключить, что сумма двух квадратов никогда не представима в виде 4n + 3.

Чтобы закончить наше исследование для простых чисел, заметим, что 2 = 1² + 1².

Для того чтобы проверить, является ли составное число z суммой двух квадратов, разложим его на простые множители

z = p₁^α₁ p₂^α₂ •… • p_k^α_k. (5.3.7)

Число z оказывается суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда каждое простое число p_i вида 4п + 3 входит в разложение в четной степени.

Примеры. Число z = 198 = 2 • З² • 11 не является суммой двух квадратов, так как 11 имеет вид 4n + 3 и входит в разложение в первой степени.

Число z = 194 = 2 • 97 является суммой двух квадратов, так как ни один из его простых множителей не является числом вида 4n + 3. Действительно, z = 13² +5².

Вернемся к нашей первоначальной задаче нахождения всех чисел z, которые могут быть гипотенузами простейших треугольников Пифагора. Такое число z должно быть представимо в виде z = m² + n², где числа m и n удовлетворяют условиям (5.2.8). Необходимым и достаточным условием для этого является следующее: каждый из простых множителей числа z должен иметь вид 4n + 1. Доказательство этого утверждения мы вновь опускаем.

Примеры. z = 41. Это число легко представить в виде суммы двух квадратов искомого вида, z = 5² + 42, так что m = 5, n = 4 и x = 40, у = 9, z = 41 выражают длины сторон соответствующего треугольника.

z = 1105 = 5 • 13 • 17. Существуют четыре представления этого числа в виде суммы двух квадратов:

1105 = ЗЗ² + 4² = 32² + 9² = 31² + 12² = 24² + 23².

Стороны соответствующих треугольников вычислите самостоятельно.

Целый ряд задач о треугольниках Пифагора может быть решен при помощи наших формул (5.2.7)

х = 2mn, у = m² — n², z = m² + n².