Приключения Майкла и Константина

Исандер Мастер

Константину явно не понравились такие высказывания и поэтому он ударил цифру 3.

– Эй, тройка! Хватит там права качать!

– А вам, не натуральным существам…. Да вы даже не числа! Вы не то что не должны тут стоять, вам вообще существовать в этой реальности не должно! Проваливайте! Вам здесь не рады! – Разозлилась тройка.

– Какие-то тут все злые… – Вслух подумал Майкл.

Как учёные выяснили, имели право встать в очередь лишь натуральные числа, а остальным это было запрещено. Корабль был настолько крутой, что каждое натуральное число хотело его получить. Чем больше было число, тем раньше оно успело занять очередь.

–

Я понял, эта очередь – аллегория на множество натуральных чисел! – Воскликнул Майкл. – По сути, очередь содержит все натуральные числа по порядку. Но это значит, что те, кто первые встали в очередь бесконечного размера? Сложно…. В любом случае удивляет то, что ряд двигается, а значит, какие-то числа забрали этот корабль, а этих кораблей бесконечное количество.

– Обычно мы представляем множество натуральных чисел как то, что имеет начало, но не имеет конца, так что не думаю, что стоит над этим много думать, – прервал раздумья Майкла Константин.

Однажды Майкл и Константин нашли великий мост координатной прямой. Расстояние было выражено в какой-то омеге, но что эта “омега” значит? Надо помнить, что в этом мире вещественные бесконечности, которые могут означать, например, гипотетическое бесконечное количество объектов, выражены не в кардиналах, а в ординалах. То есть тут легко может быть омега яблок, к примеру. И вот бесконечная прямая идёт ввысь вверх, и Майкл и Константин хотят изучить её.

С каждым метром значение прямой достигало новой цифры. 1… 2… 3… 48… миллион… Триллион… Квинтиллион… Гугол… Гуголплекс… Число Грэма… Число Райо… Ультимейт Обливион… Омега! И оказалось, что эта координатная прямая была буквально линейкой роста для существа. Оно объяснило Майклу и Константину, что ординалы тут нужны, а кардиналы – мусор лишь по той причине, что тут действует теория относительной бесконечности. Вот, допустим, есть ты, есть бесконечный по размеру объект, а есть бесконечно малый объект. Для бесконечно малого объекта ты будешь бесконечно большим. Ну и что, чувствуешь прям своим нутром, как ты равен бесконечному объекту? А то-то же.

Бесконечность сама по себе относительна. Эта теория где только не встречается: и в рекурсии, и в размерности. Двумерный квадрат может вместить бесконечность одномерных линий, а трёхмерный куб может вместить бесконечность квадратов. Конечно, куб поместит больше, чем квадрат, ведь каждый квадрат уже содержит бесконечность одномерных линий. И алеф-нули тут вообще не к месту, возведёшь алеф-нуль в степень алеф-нуль – и он не изменится! Вот я свой рост измеряю омегами! Омега = 1 метр относительно меня (когда создавали метрическую систему, мои предки, конечно же, отталкивались от окружающего мира, который для них конечный, но бесконечный для вас, и они решили свой рост сделать единицей), ну тогда ?x2 будет 2 метра, и так далее. Например, длина нашей планеты будет ?x74545645. Однако то, что размером омега в квадрате будет даже бесконечным для нас, ведь это буквально омега умножить на омегу, что будет равняться омега метров по нашей метрической системе.

Но придёт легендарный народ, для которого омега в квадрате будет одним метром, и для них омега в кубе будет бесконечной и т.д. Интересный факт: в нашем мире бесконечномерный объект может содержать омега в степени омега одномерных объектов.

– Забавно, мы молча летали и встретили тебя, и ты сразу начал нам рассказывать про этот интересный мир, – опустив глаза, задумчиво произнёс Майкл.

– Да я просто ваши мысли умею читать, и да, у меня бесконечно зоркое зрение, поэтому я вас заметил, – сказало существо.

– Воу, он ответил на вопрос про зрение до того, как я спросить успел про него, – удивился Константин. Неизвестно, сделал он это серьёзно или с сатирой, но было правдоподобно.

Майкл и Константин отправились дальше.

Алеф-нуль – это мощность множества всех натуральных чисел. Если прибавить единицу к алеф-нуль, его количество не изменится и всё так же будет тождественно алеф0. Но если расположить числа по порядку и настоять на том, что прибавленная единица будет

идти после всех натуральных чисел, то получится омега. Это первое бесконечное ординальное число. Порядковые числа работают иначе, чем кардинальные, и ?+1 будет ничуть не больше ?, просто оно будет идти после него. Ряд типа ?+1, ?+2, ?+3… может продолжаться до бесконечности. Но то, что идёт после этого, является ?+? или же ?x2. Далее идёт ?x3, ?x4…?x?, потом ?^?, ?^?^?… Тетрацию ординалов ?[4]? принято обозначать ?0 – эпсилон-нуль. Из эпсилона также можно составлять иерархии. И в принципе так может продолжаться без конца. Мы называем это схема преобразования множеств. Один из самых больших таких ординалов – ?(????…) – Ординал Ратчена. Следует отметить, что Ординал Ратчена не является самым большим, но достаточно большой, чтобы на нём остановиться. Но также существует ординал, который следует за всеми трансфинитными ординалами, созданными при помощи любых мыслимых рекурсий. Это Ординал Черча-Клина, и записывают его вот так: ?CK. А то, что идёт после всех возможных способов разложения алеф-нуль элементов называется ?1. (не путать с ?+1)

?1 – это первый несчётный ординал, который следует за всеми счётными ординалами.

Алеф-один – это мощность множества всех счётных порядковых чисел, которое обозначается ?1. (каждому кардиналу соответствует свой какой-либо ординал, и наоборот). Булеан множества (бесконечного или нет) всегда имеет строго большую мощность, чем само множество (проще говоря, булеан должен быть 'больше', чем исходное множество). Булеан множества натуральных чисел, например, можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с множеством вещественных чисел. Таким образом можно создавать всё большие и большие бесконечности. Также если континуум-гипотеза верна, то B(?0) = алеф 1. (B это булеан). Алеф 2 – это мощность или размер множества всех действительных чисел в виде бесконечно широких кортежей. И так далее. Также есть алеф-бесконечность, алеф-омега и омега-омега. Далее идёт ??? и ???… И таким образом можно делать всё большие и большие преобразования, которым нет конца.

После бесконечной иерархии идёт иерархия структур где структура выше недостижима расширением иерархий структур ниже. Например, “нулевым слоем” можно назвать бесконечномерную иерархию который олицетворяет алеф нуль. Первый же слой олицетворяет алеф 1, следовательно, как бы ты не расширял бесконечномерную иерархию, ты бы не достиг алеф 1 структуру. Это как производить тетрацию ординалов, надеясь достигнуть ?1. Алеф 1 абсолютно недостижим к алеф 0 иерархии. То есть, нулевой слой имеет “силу” алеф нуля, первый слой алеф 1, второй слой алеф 2 и тд. Итак, иерархии, превосходящие другие иерархии, – это действительно чудо, поразившее Майкла и Константина, потому что без превосходства над бесконечно малой частицей, чтобы достичь такого уровня, необходимо было перемещаться в алеф-1 пространственной координате, и возможно ли это вообще?

Но за пределами всего этого стоит недостижимый кардинал. Его невозможно достичь никакими преобразованиями снизу. Концептуальный скачок от ничего до первой бесконечности – то же самое, что скачок от первой бесконечности до недостижимого кардинала.

?n, < недостижимость (inaccessible) где n – любая мыслимая мощность бесконечности.

Существует такое множество, величину которого нельзя описать принятым ранее математическим языком. Такое множество называют неописуемой недостижимостью (Indescribable Inaccessible). Такую недостижимость мы даже не можем выразить, используя значок "?", как мы сделали это с обычной недостижимостью, ведь согласно определению – это невозможно. Математики лишь утверждают, что:

Недостижимость < Неописуемая недостижимость.

И всё изложенное выше содержится лишь в среднем нарративе бесконечно малой частицы. В одном из таких средних нарративов содержится также алеф-бесконечность пространственных измерений, недостижимый кардинал измерений и т.д. В общем, там находится всё, что было написано ранее в виде измерений.

В математике есть и другие придуманные аксиомы, которые создают ещё большие недостижимости. Вот их неполный перечень, расставленный в порядке возрастания: