Приключения Майкла и Константина

Исандер Мастер

недостижимость (INACCESSIBLE)

гипер-недостижимость (HYPER-INACCESSIBLE)

n-гипер-недостижимость (N-HYPER-INACCESSIBLE)

слабо компактная недостижимость (WEAKLY COMPACT INACCESSIBLE)

неописуемая недостижимость (INDESCRIBABLE INACCESSIBLE)

несворачиваемая недостижимость (UNFOLDABLE INACCESSIBLE)

итерируемая недостижимость (INEFFABLE INACCESSIBLE)

рамсеевкая недостижимость (RAMSEY INACCESSIBLE)

измеримая недостижимость (MEASURABLE INACCESSIBLE)

сильная недостижимость (STRONG INACCESSIBLE)

сильно компактная недостижимость (STRONGLY COMPACT INACCESSIBLE)

сверхсильная недостижимость (SUPERSTRONG INACCESSIBLE)

сверхкомпактная недостижимость (SUPERCOMPACT INACCESSIBLE)

расширяемая недостижимость (EXTENDIBLE INACCESSIBLE)

n-сверхсильная

недостижимость (N-SUPERSTRONG INACCESSIBLE)

почти гигантская недостижимость (ALMOST HUGE INACCESSIBLE)

гигантская недостижимость (HUGE INACCESSIBLE)

сверхгигантская недостижимость (SUPERHUGE INACCESSIBLE)

n-гигантская недостижимость (N-HUGE INACCESSIBLE)

разрядовая недостижимость (RANK-INTO-RANK INACCESSIBLE)

Но давайте не забегать вперёд.

Махло кардинал – это кардинал, для которого множество всех возможных регулярных кардиналов меньших него стационарно. Разберём детальнее, что это значит. Для каждой последовательности регулярных кардиналов можно определить предельный кардинал, который так же будет предельным ординалом:

?0, ?1, ?2, ?3, …, ??

I, ?I+1, ?I+2, ?I+3, …, ?I+?

I2, ?I2+1, ?I2+2, ?I2+3, …, ?I2+?

I, I2, I3, I4, …, I?

I(2,0), I(2,1), I(2,2), I(2,3), …, I(2,?)

I(1,0), I(2,0), I(3,0), I(4,0), …, ?I(?,0)(0)

I(1,0), I(1,0,0), I(1,0,0,0), I(1,0,0,0,0), …, ?I(1?)(0)

Тогда Махло кардинал, будет таким, который будет больше любого такого предельного кардинала, так чтобы множество регулярных кардиналов было для него стационарным. То есть Махло кардинал является пределом для всех регулярных ординалов меньше него, но и для их клубного сомножества предельных ординалов Махло кардинал тоже будет пределом, являясь большим по отношению к каждому члену этого клуба. Из этого следует, что по своим свойствам Махло кардинал так же должен быть регулярным, то есть соответствовать требованию: cf(М) = М (здесь и далее, будем обозначать Махло кардинал и соответствующий ему минимальный ординал большой буквой М). Регулярность Махло кардинала доказывается от обратного, вкратце, если бы он не был регулярным, то должен был бы существовать меньший по величине регулярный ординал, с помощью которого его можно было бы образовать, и тогда он являлся бы частью клуба предельных кардиналов, но как мы помним по определению он является для всех них пределом, значит не входит в их множество, и следовательно больше их. Ну а раз Махло кардинал является регулярным и при этом он предел, значит он так же предельный, тогда получается что по своим свойствам он ещё и недостижимый (которые по определению регулярные и предельные одновременно). Тем не менее, он будет больше любого ранее определённого нами недостижимого кардинала или гипер-недостижимого кардинала с любой мыслимой степенью недостижимости (потому что они всегда регулярные, а значит где-то за ними есть предельный кардинал из клубного сомножества; Махло кардинал же по определению является пределом и для тех и для других). Получается что множество всех мыслимых недостижимых и гипер-недостижимых кардиналов меньших него так же стационарно для Махло кардинала, как и множество всех регулярных кардиналов меньше него. То есть уже нет никаких сомнений, что Махло кардинал будет больше любого недостижимого, которого мы способны выразить с помощью иерархии Веблена, или какой-либо иной иерархии, способной учитывать степени недостижимости. Значит он идеально подходит нам в качестве диагонализатора для ординальной коллапсирующей функции.

Однако перед тем как мы будем разбираться в новой коллапсирующей функции основанной на Махло кардинале, следует вспомнить, что из-за недоказуемости обобщенной континуум-гипотезы мы были вынуждены разделить недостижимые кардиналы на слабонедостижимые и сильнонедостижимые, так же как раньше разделили несчетные на алеф-кардиналы и бет-кардиналы, это же придется сделать и с Махло кардиналом. Махло кардинал для которого стационарно множество регулярных алеф-кардиналов (и соответственно слабонедостижимых тоже) будет называться Слабым Махло кардиналом, а Махло

кардинал для которого стационарно множество регулярных бет-кардиналов (и соответственно сильнонедостижимых тоже) будет называться Сильным Махло кардиналом. Если предположить правильность континуум-гипотезы, то Слабый Махло кардинал и Сильный Махло кардинал это один и то же кардинал, однако если предположить ложность континуум-гипотезы, то так же как это было с недостижимыми: Слабый Махло кардинал < Сильный Махло кардинал, и мы так же не можем предположить насколько первый меньше второго, он может быть даже меньше континуума (?1).

Функция Бухольца принимала в себя два аргумента: ??(n) – где ? – это регулярный кардинал, на основе которого происходит коллапсирование, а n – это ординал, основной аргумент функции, который собственно и коллапсируется, он может быть любым, но не должен превосходить по кардинальности ?. В целом функция ??(n), в случае |n| = ?, на выходе понижала кардинальность n, но увеличивала рекурсию получившегося ординала, так что ??k+1(?k+1) = ??k+1, и ??k(?k+?) = ???k(?k)+?.

< image l:href="#"/>

Здесь придём к функции Ратъена. На самом деле это не одна, а целых две функции, и кроме ?-функции Ратъен определил еще и ?-функцию. Принципиальное отличие между ними заключается в том, что если ?-функция возвращает любые ординалы, то ?-функция возвращает всегда только регулярные ординалы. По определению, если n < I, то ?(n) – возвращает n-ный несчетный регулярный ординал (считая с нуля). Тут важно отметить, что ?-ный регулярный ординал это ??+1, потому что, как вы должны помнить из прошлой части, |??| = ?? – регулярным не является. Следовательно, пользуясь обозначениями коллапсирующей функции, мы получим следующие преобразования: ?(0) = ?, ?(1) = ?2, ?(2) = ?3, ?(?) = ??+1, ?(?) = ?(?(0)) = ??+1, ?(?) = ?(?(1)) = ??+2, ?(????…) = ?(???…+1) = ?Ф(1,0)+1, и т.д. В целом, принципы коллапсирования позволяют определить общее свойство ?(n) = ?n+1, гласящее что n-ный несчётный кардинал равен кардиналу, который предшествует n-ному несчетному регулярному кардиналу. Однако работает это свойство только пока аргумент функции меньше недостижимого кардинала (n < I).

Общее свойство коллапсирования теперь стало следующим:

??(k)(?) = ??k+?, где ? = k+? – если ? > k, k – предельный ординал или ноль.

??(k)(?) = ??k+?+1, где ? = k+? – если ? > k, k – очередной ординал.

??(k)(?) = ??? – если ? <= k, k – предельный ординал или ноль.

??(k)(?) = ???+1 – если ? <= k, k – очередной ординал.

Бесконечно тетрированный Махло ординал в виде бесконечной степенной башни внутри функции Ратъена, который также можно записать как ?(?M+1), это особенный ординал, который носит имя Ординал Ратъена.

Майкл и Константин случайно наткнулись на мир, соответствующий этим математическим требованиям.

Майкл и Константин решили отдохнуть от исследований и телепортировались в другое измерение для развлечения. Их приключения начались с первого прыжка в параллельное измерение, где они обнаружили совершенно новые ландшафты и создания. В одном из измерений они оказались в мире, где все предметы обладали живым сознанием. Они познакомились с деревьями, которые могли говорить и дарить свои советы, и с реками, которые имели свои настроения и эмоции. Майкл и Константин провели много времени, изучая этот удивительный мир и узнавая о его уникальных особенностях. Казалось бы, всё отлично, но…

– Если вы одушевлённые, что тогда у вас неодушевлённое? – С интересом спросил Майкл

– Вы имеете ввиду животных? – Поинтересовалось дерево.

– “Животных”?! У вас животные и растения поменялись местами? А что насчёт людей? Вы используете их как стол? – Съязвил Майкл Браун.

– Не, у нас люди крайне многофункциональны, например, из крови мы делаем вино, а вам то это виднее, потому что я очень пьяно. Мне видятся ожившие люди – Сказало дерево решив, что оно словило белочку.