Принцесса или тигр

Смаллиан Рэймонд М.

— Понятно, — кивнул Мак-Каллох.

— А теперь, — пояснил далее Крейг, — если нам заданно операционное число М и произвольное число X, то, чтобы обозначить результат воздействия операции М на число X, я буду просто писать М(Х). Например, число 3(Х) будет представлять собой ассоциат X, 4(Х) будет обращением числа X, 5(Х) окажется повторением числа X, а число 435(X) будет представлять собой вращение ассоциата повторения числа X. Понятны тебе эти обозначения?

— Вполне, — ответил Мак-Каллох.

— Надеюсь, теперь ты не будешь путать запись М(Х) с записью MX. Ведь первая из них обозначает результат воздействия операции М на число X, в то время как вторая

утверждает лишь то, что за числом М следует число X, — а это совсем разные вещи! Например, запись 3(5) обозначает вовсе не 35, а 525.

— Это мне тоже понятно, — сказал Мак-Каллох. — Однако не может ли случиться так — хотя бы в силу чистой случайности, — чтобы число М(Х) совпадало с MX?

— Интересный вопрос, — ответил Крейг. — Мне нужно его обдумать!

— Может, сначала выпьем еще по чашечке чаю? — предложил Мак-Каллох.

— С удовольствием! — согласился Крейг.

Пока наши друзья наслаждаются чаем, мне хотелось бы предложить вам несколько занимательных задач с операционными числами. Они позволят читателям приобрести необходимый опыт в использовании обозначений типа М(Х), которые будут играть важную роль при дальнейшем изложении.

10. Ответом на последний (математический!) вопрос Мак-Каллоха будет «да»: действительно существуют операционное число М и некоторое число X, такие, что М(Х) = МХ. Не могли бы вы найти их?

11. Существует ли операционное число М, для которого М(М) = М?

12. Найти операционное число М и заданное число X, для которых М(Х) = ХХХ.

13. Найти операционное число М и число X, для которых М(Х) = М+2.

14. Найти М и X, для которых число М(Х) было бы повторением числа MX.

15. Найти операционные числа М и N, для которых M(N) оказалось бы повторением N(M).

16. Найти два различных операционных числа М и N, для которых M(N) = N(M).

17. Не могли бы вы отыскать два операционных числа М и N, для которых

18. Что можно сказать по поводу двух операционных чисел М и N, для которых M(N) = N(M) + 492?

19. Найти два различных операционных числа М и N, для которых выполняются условия M(N) = MМ и N(M) = NN.

Принцип Крейга

— Ты так и не рассказал мне, в чем же состоит твой принцип, — сказал Мак-Каллох, когда друзья покончили с чаем. — Полагаю, что об операционных числах и операциях мы заговорили именно в связи с этим принципом?

— Ну, конечно, — отвечал Крейг. — Теперь, я думаю, ты легко сможешь понять идею этого принципа. Помнишь задачи, которые ты предлагал мне раньше? Ну, например, найти число X, которое порождает повторение самого себя. Иначе говоря, мы искали некое число X, которое порождает 5(Х). Или, пытаясь найти некоторое число X, которое порождает свой собственный ассоциат, мы искали число X, порождающее число 3(Х). Далее в свою очередь вспомним, что число X, порождающее обращение числа X, есть число, которое порождает 4(Х). Вместе с тем все эти задачи представляют собой частные случаи одного общего принципа, который заключается в следующем: для любого операционного числа М должно существовать некое число X, которое порождает М(Х). Другими словами, для любой заданной операции F, которую может выполнять твоя машина, — то есть для любой операции F, описываемой определенным операционным числом, — должно существовать число X, которое порождает F(X).

Более того, — продолжал Крейг, — если задано какое-то операционное число М, то существует очень простой способ найти такое X, которое порождает М(Х). Зная этот общий способ, можно найти, например, число X, которое

порождает 543(X), — то есть решить задачу нахождения числа X, порождающего повторение обращения ассоциата этого X; или найти такое X, которое порождает 354(Х), — то есть решить задачу нахождения числа, порождающего ассоциат повторения своего собственного обращения. Или, как я уже упоминал, можно найти такое X, которое порождает повторение обращения двойного ассоциата X, — другими слова ми, найти X, порождающее 5433 (X). Если не знаешь этого способа, то решать эти задачи оказывается крайне затруднительным, если же воспользоваться моим принципом — то это будут не задачи, а детские игрушки.

— Я — весь внимание, — сказал Мак-Каллох. — Но что же это за такой замечательный способ?

— Сейчас объясню, — ответил Крейг, — но сначала давай разберем поподробнее одно вполне элементарное обстоятельство, а именно: для любого операционного числа М и для любых чисел У и Z, если число У порождает число Z, то МУ порождает M(Z). Например если У порождает Z, то 3У порождает 3(Z), то есть ассоциат Z; 4 У порождает 4(Z); 5 У порождает 5(Z); 34 У порождает 34(Z) и т. д. Точно так же для любого операционного числа М, если У порождает Z, то МУ порождает М(Z). В частности, если такое У, порождающее Z, оказывается равным 2Z, тогда всегда справедливо утверждение, что M2Z порождает M(Z). Например, число 32Z порождает число 3(Z) — ассоциат Z; число 42Z порождает число 4(Z), то есть при любом операционном числе М число M2Z порождает число M(Z). Собственно говоря, мы даже могли бы определить M(Z) как число, порождаемое числом M2Z.

— Это все понятно, — сказал Мак-Каллох.

— Прекрасно, — сказал Крейг, — однако этот факт легко забывается, поэтому разреши мне повторить его еще раз, с тем чтобы он хорошенько отложился у тебя в голове. Итак, утверждение 1: для любого операционного числа М и для любых чисел У и Z, если число У порождает число Z, число МУ порождает число M(Z). В частности, число M2Z порождает число M(Z).

— Отсюда, — продолжал Крейг, — а также из того факта, который ты обнаружил для своей первой машины и который справедлив и для нынешней, очевидно следует, что для любого заданного операционного числа М должно существовать некое число X, порождающее М(Х), — то есть в данном случае число X порождает результат применения операции М к числу X. При этом, зная число М, такое X можно легко найти с помощью простого и вполне общего правила.

20. Итак, Крейг открыл важное правило, которое мы в дальнейшем будем называть принципом Крейга, а именно: для любого операционного числа М всегда существует некоторое число X, такое, что оно порождает М(Х). Как же доказать принцип Крейга и как при заданном числе М найти число X? Например, какое число X порождает 543 (Х)? Или какое число X порождает повторение обращения ассоциата X? Или, наконец, какое X порождает ассоциат повторения обращения X — то есть какое X порождает 354 (Х)

— Я приготовил для тебя еще несколько задачек, — сказал Мак-Каллох, — однако сегодня уже поздно. Оставайся-ка ночевать у меня. А завтра мы с тобой поговорим подробнее.

У Крейга как раз было несколько свободных дней, и поэтому он с удовольствием принял приглашение Мак-Каллоха.

Некоторые варианты принципа Крейга

Наутро после плотного завтрака — а хозяин оказался человеком очень гостеприимным — Мак-Каллох предложил Крейгу следующие задачи.

21. Найти число X, которое порождает число 7Х7Х.