Природа описывается формулами. Галилей. Научный метод

Коллектив авторов

По законам кинематики положение и скорость тел при свободном падении вычисляются исходя из их массы. Рассчитывая скорость тела во время свободного падения при помощи понятий кинетической энергии (E_c, связанной со скоростью) и потенциальной энергии (E_p, связанной с весом), можно еще раз убедиться, что эта скорость зависит не от массы тела, а только от высоты, на которой оно находится:

E_c = 1/2 mv²

E_p = m·g·h.

Когда мы держим шар на определенной высоте от поверхности,

он обладает потенциальной энергией, которая при его падении переходит в кинетическую. Таким образом, для того чтобы узнать, какова будет скорость тела в момент, когда оно коснется земли (то есть когда вся его потенциальная энергия перейдет в кинетическую), нужно использовать формулу:

m·g·h = 1/2 mv²

В результате скорость будет равна:

v = SQRT(2·g·h)

Итак, мы видим, что конечная скорость, с которой двигается тело, не зависит от его массы.

ВТОРАЯ КОСМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ

Если нам надо рассчитать скорость убегания, то есть скорость, которую должна развить ракета или любое другое тело для того, чтобы преодолеть силу притяжения планеты, можно воспользоваться следующим уравнением. Вначале запишем, чему равна потенциальная энергия гравитации:

E_n = G(M_з·m)/d

M_з обозначает массу Земли, но в это уравнение можно подставить массу любой другой планеты или спутника. Кинетическая энергия равна:

E_k = 1/2 mv²

Скорость ракеты должна быть достаточной для того, чтобы ее кинетическая энергия стала равной или большей потенциальной энергии планеты:

1/2 mv² = G(M_з·m)/d

Следовательно, скорость убегания равна:

v = SQRT((2·G·M_з)/d)

Мы снова видим, что эта скорость не зависит от массы тела и всегда одинакова (хотя, если тело будет более тяжелым, ему потребуется больше энергии, чтобы развить такую скорость).

АТМОСФЕРА И ТРЕНИЕ

Атмосфера Земли — причина сопротивления, которое испытывают тела при падении, именно из-за нее они двигаются с разной скоростью. Из двух шаров, сделанных из одинакового материала, более тяжелый упадет быстрее, и только в вакууме они упадут одновременно, как предсказывал Галилей.

Сопротивление воздуха действует как сила, направленная против движения тела. В случае свободного падения его действие направлено противоположно силе притяжения. Это же сопротивление объясняет, почему летают и остаются в воздухе самолеты (хотя, как мы увидим ниже, крылья самолетов используют другие свойства и аэродинамические принципы). Его можно сравнить с сопротивлением поверхности, когда мы пытаемся сдвинуть очень тяжелый предмет.

Воздух, являясь газом, состоит из молекул воды, кислорода, азота и диоксида углерода. Чтобы тело упало, эти молекулы должны сместиться. Чем больше будет падающее тело и чем меньше при этом будет его вес, тем медленнее молекулы будут смещаться, чтобы пропустить его, и, следовательно, тем медленнее будет его падение.

Форма

и фронтальная поверхность падающего тела также влияют на скорость, которую оно разовьет. Если мы возьмем лист бумаги, то и его вес, и его поверхность будут способствовать тому, что он будет снижаться медленнее, тогда как стальной шар упадет очень быстро. На планетах или таких спутниках, как Луна, где нет молекул, препятствующих падению тел, их форма и вес не являются определяющими факторами.

ТРЕНИЕ И КВАДРАТ СКОРОСТИ

При рассмотрении предметов, падающих с небольшого расстояния, влиянием сопротивления воздуха обычно можно пренебречь, то есть учитывать его при расчетах не обязательно. Напротив, при значительной высоте необходимо учесть влияние аэродинамического сопротивления.

Трение — это сила, противонаправленная силе притяжения. Когда скорость падающего тела невысока (например, при малой высоте), то сила трения пропорциональна скорости. При большей скорости увеличится и сопротивление воздуха, и это соотношение будет прямо пропорциональным.

В случае тел, развивающих большие скорости, сопротивление увеличивается на величину, пропорциональную квадрату этой скорости. Это увеличение вызвано тем, что при большой скорости образуются воздушные завихрения, которые усиливают действие сопротивления.

Это явление необходимо принимать во внимание при конструировании автомобилей, так как сопротивление воздуха в этом случае является важнейшим фактором (поэтому на стадии проектирования ставится множество опытов, чтобы улучшить их аэродинамику). Когда скорость удваивается, сопротивление воздуха возрастает в четыре раза, когда она утраивается — в девять раз. Чтобы создать очень быстрый автомобиль, необходимо снабдить его мощным мотором.

Действие силы гравитации и трения математически можно записать так:

mg- F_R =ma,

где mg — вес предмета, на который действует соответствующая сила притяжения. Сила трения F_R, как уже было сказано, пропорциональна квадрату скорости и зависит от различных факторов, которые можно считать константой:

F = kv²

Как уже говорилось, k зависит от таких факторов, как форма предмета, сопротивление воздуха и фронтальная поверхность, которая противостоит этому сопротивлению. Чтобы рассчитать ее значение, используется уравнение:

k = fk_WS

где f— значение от 0 до 1, зависящее от формы предмета (1 соответствует телу с абсолютно плоской поверхностью; чем лучше будут аэродинамические свойства тела, тем меньше будет это значение); k_w — значение сопротивления воздуха, равное 0,6N с²/м⁴ и, наконец, S обозначает площадь поверхности тела, находящуюся в трении с воздухом.

Когда крыло самолета расположено горизонтально, давление воздуха как в нижней части, так и в верхней одинаково. Но когда крыло слегка наклоняется, давление воздуха в нижней части становится выше, чем в верхней, и это позволяет самолету набирать высоту.