Пятьсот двадцать головоломок

Дьюдени Генри Эрнест

342. Разрежьте один из треугольников пополам и сложите части вместе, как показано в случае 1. Затем проведите разрез вдоль пунктирных линий так, чтобы и ab, и cdравнялись стороне искомого квадрата. Затем сложите полученные части вместе, как показано в случае 2, сдвинув Fи Cвлево вверх и переместив маленький кусочек Dиз одного угла в другой.

[Существует решение данной задачи, содержащее только 5 частей. — М. Г.]

343.

На рисунке показано, как можно разрезать символ масти пик на три части, чтобы получить символ червовой масти.

344. Вы видите на рисунке, как следует расположить 4 части, чтобы одна клетка исчезла (на первый взгляд). Объяснение этого феномена состоит в том, что края частей, расположенные вдоль жирной линии, не совпадают по направлению. Если вы расположите внешние края данной фигуры точно под прямым углом, то некоторые части перекроются и площадь перекрытой поверхности окажется равной площади одной клетки. Вот в чем и состоит простое объяснение нашего парадокса.

345. Прежде всего проведите разрез AB. Затем сложите полученные три части вместе так, чтобы при следующем взмахе ножниц вы могли провести одновременно разрезы CD, EFи GH(см. рисунок справа).

346. Восемь кусков фанеры можно расположить симметрично, чтобы они образовали квадрат таким образом, как показано на рисунке.

347. Сложите два квадрата вместе таким образом, чтобы линии ABи CDбыли прямыми. Затем найдите центр большего квадрата и проведите через него прямую EF, параллельную AD. Если вы теперь проведете через тот же центр перпендикулярно EFпрямую GH, то больший квадрат разобьется на 4 части, из которых вместе с меньшим квадратом можно будет составить новый квадрат.

[Это решение было впервые найдено английским математиком-любителем Генри Перигейлом, который опубликовал его в 1873 г. Оно представляет собой одно из лучших доказательств теоремы Пифагора с помощью разрезания. См. гл. 38 книги М. Гарднера «Математические головоломки и развлечения» (М., изд-во «Мир», 1971). — М. Г.].

348. На рисунке показано, как можно разрезать фанеру. Квадраты Aи Bвырезаются целиком (1), а из четырех частей C, D, Eи Fможно составить третий квадрат (2).

[Существуют решения данной задачи, в которых участвует только пять частей. Не сможет ли читатель отыскать решение из пяти частей, при котором общая длина разрезов составляет 16 единиц? — М. Г.]

349. Вырежьте кусок Aи, повернув его на четверть оборота по часовой стрелке, соедините с куском B. При этом получится правильная шахматная доска.

350. На рисунке показано, как составить квадрат из 20 кусочков.

351. Если ковер разрезать на две части, как показано в случае 1, и сшить куски вместе таким образом, как изображено в случае 2, то получится квадрат. Ширина ступеньки равна 2, а высота 1 м.

352. Согнув листок по серединам противоположных сторон, получим прямые AOBи COD. Произведем также сгибы EHи FG, делящие AOи OBпополам.

Перевернем AKтак, чтобы Kпопала на прямую EHв точке E, а затем произведем сгибы через AEи EOG. Аналогично найдем точку Hи согнем бумагу вдоль AHи HOF. Произведя сгибы BF, BG, EFи HG, получим искомый правильный шестиугольник EFBGHAE.

353. Сложив ABвдвое, найдите середину E. Согните бумагу вдоль EC. Совместите EBс ECи согните так, чтобы получить EFи FG. Сделайте так, чтобы отрезок CHстал равным отрезку CG. Найдите K — середину отрезка BHи отложите отрезок CL, равный BK. Отрезок KL — сторона правильного пятиугольника. Затем отложите (см. правую часть рисунка) отрезки KMи LN, равные KL, так, чтобы Mи Nсоответственно лежали на BAи CD. Согнув бумагу вдоль PQ, отложите MOи NO, равные KMи LN. Многоугольник KMONLи есть искомый пятиугольник.

354. Соединив между собой края ABи CD, вы можете отметить сгибами средние точки Eи G. Аналогичным образом вы можете найти точки Fи H, а затем согнуть квадрат EHGF. Далее совместите CHс EHи ECс EH, при этом вы получите точку пересечения 1. Сделайте то же самое с оставшимися тремя углами — сгибы очертят правильный восьмиугольник, который затем можно будет вырезать с помощью ножниц.

355. Сложите квадрат пополам вдоль FE. Загните сторону ABтак, чтобы точка Bлегла на FE, и вы получите точки Gи H, через которые можно провести сгиб HGJ. Оставляя точки Bи Gпо-прежнему совмещенными, отогните ABназад на AH, и вы получите прямую AK. Теперь вы можете сложить треугольник AJK — наибольший равносторонний треугольник из всех возможных.

356. Отогнув угол A, найдите точку C, которая делала бы отрезок BCравным отрезку AB, и перегните полоску, как показано в случае 1. Вы получите точку D. Далее согните полоску так, как показано в случае 2, чтобы ее край прошел вдоль AB. Вы получите точку E. Продолжая действовать аналогичным образом (случай 3), вы уложите всю полоску в форме пятиугольника. Это, как мы уже говорили, просто, но вместе с тем интересно и поучительно.