Пятьсот двадцать головоломок

Дьюдени Генри Эрнест

301. Проведите два перпендикулярных отрезка CDи EF(длина CDравна 12 см, длина EF — 8 см), пересекающихся друг с другом посередине. Найдите такие точки Aи B, чтобы AFи FBравнялись половине CD, то есть 6 см, и поместите ваши булавки в Aи B, взяв веревочную петлю равной ABFA. Пусть CA= x. Тогда, если карандаш находится в F, длина

веревки равна 12 + (12 - 2 x) = 24 - 2 x, а если он находится в C, длина веревки равна тоже 2(12 - x) = 24 - 2 x, что и доказывает правильность нашего решения [39] .

39

Строго говоря, это еще не доказательство, но его можно легко получить, пользуясь свойствами эллипса. Булавки должны располагаться в фокусах эллипса Aк B. CDпредставляет собой большую, a EF — малую оси эллипса; обозначим их соответственно через 2 aи 2 b, а фокусное расстояние ABчерез 2 c. Тогда из треугольника AGFполучим AF= . Но в силу свойств эллипса = a, то есть AF= CD, что и требовалось. — Прим. перев.

302. Одного взгляда на помещенный здесь рисунок достаточно, чтобы заметить, что если я отрежу часть 1и помещу ее на место части 2, то получится прямой отрезок стены BC, отмеченный пунктиром и в точности равный участку AB. Следовательно, не правы были оба спорщика, и цена обоих участков должна быть одинаковой. Конечно, читатель сразу заметит, что это справедливо лишь при некоторых ограничениях, но мы имеем в виду именно ту стену, какая нарисована, и в том случае, когда эти ограничения выполнены.

303. Отмерьте любое удобное расстояние вдоль берега от Aдо C, скажем 40 м. Затем отмерьте любое расстояние в перпендикулярном направлении до точки D, скажем 12 м. Теперь сделайте засечку Eв направлении AB. Вы сможете измерить расстояние от Aдо B, которое в нашем случае равно 24 м, и от Eдо C, что даст 16 м. Далее, AB: DC= AE: EC, откуда ясно, что ширина реки ABравна 18 м.

304. Свинья пробежит 66 2/3 м и будет схвачена, а Пэт пробежит 133 1/3 м. Кривую [40] , которую опишет при этом Пэт, можно измерить точно. Ее длина равна an ²/( n ²– 1), где скорость свиньи принята за 1, Пэт бежит в nраз быстрее и a — первоначальное расстояние между Пэтом и свиньей.

305. Расстояние от верхнего конца до земли составляет 4/5 длины всей лестницы. Умножьте расстояние от стены (4 м) на знаменатель этой дроби (5), и вы получите 20. Теперь вычтите квадрат числителя дроби 4/5 из квадрата ее знаменателя. При этом получится 9 = 3 ². Наконец, разделите 20 на 3, и вы получите ответ: 6

м.

40

Эта кривая называется линией погони. — Прим. перев.

306. Высота шеста над землей составляла 50 м. В первом случае он сломался в 29 м, а во втором случае в 34 м от верхушки.

307. Длина свободно висящей веревки равна 3 м 85 1/2

см.

308. Разумеется, прямая ACне является наибыстрейшим путем. Быстрее будет доехать от Aдо Eи далее прямо до C. Путь, требующий наименьшей затраты времени, показан на рисунке пунктирной линией от Aдо G(ровно 1 км от E) и затем прямо до C.

Необходимо, чтобы синус угла FGCбыл в два раза больше синуса угла AGH, В первом случае синус равен 6/

= 6

= 2/

. Во втором случае синус равен 1/

= 1/

, то есть ровно в два раза меньше.

309. Как видно из рисунка, головоломка невероятно проста, если знаешь, как к ней подступиться! И все же у меня нет ни малейшего сомнения, что для многих читателей она оказалась крепким орешком. Можно заметить, что каждая спичка, несомненно, касается всех остальных.

[Можно увеличить число спичек до семи, и головоломка остается все еще разрешимой. — М. Г.]

310. У посылки максимальных размеров суммарная длина веревки, идущей в длину, должна быть равна суммарной длине веревки, идущей в ширину (и суммарной длине веревки, идущей в высоту). Если это известно или читатель самостоятельно разобрался и понял, в чем дело, то остальное рассчитать очень просто. Действительно, мы знаем, что веревка 2 раза проходит в длину, А в ширину и 6 раз в высоту. Следовательно, разделив 1 м 20 см соответственно на 2, 4 и 6, мы получим 60, 30 и 20 см, а это и будет искомыми длиной, шириной и высотой посылки максимального размера.

Следующее общее решение принадлежит Александеру Фрейзеру. Пусть веревка aраз проходит вдоль ребра длиной x, bраз вдоль ребра длиной yи cраз вдоль ребра длиной z, и пусть длина всей веревки равна m.

Тогда ax+ by+ cz= m. Найдем максимум xyz.

Прежде всего найдем максимум площади xy.

Положим ax+ by= n, x= ( n– by) /a, xy= ( n/a) y– ( b/a) y ², dxy/dy= n/a– (2 b/a) y= 0, тогда

Следовательно, axтакже равно n/2, ax= by. Аналогично ax= by= cz= m/3, откуда

В нашем случае a= 2, b= 4, c= 6, m= 360. Таким образом, x= 60, y= 30, z= 20: