Пятьсот двадцать головоломок

Дьюдени Генри Эрнест

[Задачи о переправах через реку этого и предыдущего типа решаются с помощью простого метода из теории графов. См. гл. 35 книги М. Гарднера «Математические досуги» (М., изд-во «Мир», 1972). — М. Г.]

438. Двое детей гребут к другому берегу. Один из них вылезает, а другой возвращается назад. Один солдат переправляется, вылезает, а мальчик возвращается назад. Таким образом, чтобы переправить на другой берег одного взрослого, лодка должна 4 раза проплыть от берега до берега. Поэтому ей пришлось сделать 4 x 358 = 1432 рейса, чтобы переправить офицера и 357 солдат, причем лодка в конце концов снова оказалась у детей.

439. Можно составить следующую таблицу:

440. Из таблицы можно сразу определить, что Англия

победила Ирландию и сыграла вничью с Уэльсом. Поскольку А сыграла в этих матчах с общим счетом 2 : 0, то она должна была победить со счетом 2 : 0, а вничью сыграть со счетом 0 : 0. Таким образом, нам все известно про А и остается только определить результаты трех матчей: У с И, Ш с И и Ш с У. Шотландия пропустила только 1 гол от У или И. И забила только 1 гол в ворота У или Ш. Допустим, что в ворота Ш. Тогда У не забил ни одного гола в ворота Ш. Но У всего забил 3 гола; следовательно, все они были забиты в ворота И. Получается, что в ворота И было забито 6 голов: 2 — А, 3 — У (если принять, что И забила гол в ворота Ш) и оставшийся гол — Ш. Но поскольку мы приняли, что И забила 1 гол в ворота Ш, матч между этими командами должен был закончиться вничью. Однако из таблицы видно, что в этом матче выиграла Ш и, следовательно, И не могла забить гол в ворота Ш. Таким образом, гол в ворота Ш забил У. А поскольку У всего забил 3 гола, то остальные 2 были забиты в ворота И, которая свой единственный гол забила в ворота У. Окончательно мы получаем, что Ш выиграла у У со счетом 2 : 1, у И со счетом 2 : 0, а У выиграл у И со счетом 2 : 1.

441. Пусть 8 делений разбивают 33-сантиметровую линейку на 9 частей длиной 1, 3, 1, 9, 2, 7, 2, 6, 2 см. Тогда с их помощью можно измерить любое целое число сантиметров от 1 до 33 см. Разумеется, сами деления находятся на расстояниях 1, 4, 5, 14, 16, 23, 25 и 31 см от одного из концов линейки. Другим решением будет 1, 1, 1, 1, 6. 6, 6, 6, 5 см.

Эта головоломка имеет по крайней мере 16 решений. Я нашел правило, с помощью которого можно определять минимальное число делений для линеек любой длины и выписывать некоторые решения, однако общий закон, которому подчиняются все решения, еще не найден.

[Хотя общего правила не найдено до сих пор, все же с того момента, как Дьюдени поставил эту задачу, отмечен существенный прогресс. Обнаружено, что восьми делений достаточно также и для линейки в 36 см. — М. Г.]

442. Если расположить коттеджи по кругу через промежутки 1, 1, 4, 4, 3, 14 км, то для любого целого числа километров от 1 до 26 включительно найдутся два коттеджа, отстоящие друг от друга на такое расстояние.

[Эта задача, очевидно, представляет собой разновидность предыдущей. Как и ранее, Дьюдени мог бы увеличить длину «линейки» (в нашем случае — дороги), не меняя остальных условий задачи. Оказывается, что 6 коттеджей можно расположить на круглой дороге в 31 км таким образом, чтобы любое целое расстояние от 1 до 30 км совпадало с расстоянием по кругу между некоторой парой домов. Нетрудно заметить, что для п домов максимальнее число различных способов измерения расстояний между ними равно n( n– 1). Для n= 6 мы получаем 30; следовательно, в этом случае можно расположить 6 домов на дороге в 31 км так, чтобы ни одно из расстояний между парами домов не повторялось. Точно так же оптимальные решения можно получить и в случае n= 1, 2, 3, 4 или 5. См. решение задачи Е176 Михаелем Гольдбергом, приведенное в журнале American Mathematical Monthly, September 1966, p. 786. — M. Г.]

443. Существует 9 основных решений, представленных на рисунке. Решение A — это то самое решение, которое давалось при формулировке задачи. Из данных 9 решений D, Eи Jпорождают по 8 решений каждое с помощью поворотов и отражений, как объяснялось ранее, а остальные дают только по 4 решения каждое. Следовательно, всего существует 48 различных решений данной головоломки.

Читателю, быть может, будет небезынтересно узнать, что на шахматной доске 8 x 8 пять фишек можно расположить вдоль прямой при тех же самых условиях четырьмя основными способами, порождающими 20 различных решений.

444.

Три мухи переменили позицию, как показано стрелками на рисунке, и при этом никакие две мухи не оказались на одной прямой.

445. Если бы у Пилкинса было 11 клерков, а у Рэдсона 12, то они могли бы сесть за стол 165 и 495 способами соответственно, что как раз и являлось бы решением задачи. Однако нам известно, что у той и другой фирмы клерков было поровну. Следовательно, ответом будет 15 клерков, садившихся по трое в течение 455 дней, и 15 клерков, садившихся по четыре в течение 1365 дней.

446. В первом случае существует 88 200 способов. Есть один простой метод, с помощью которого можно получить ответ, но объяснение его потребовало бы слишком много места. Во втором случае ответ уменьшается до 6300 способов.

447. Удалите первую плитку в каждом горизонтальном ряду. Тогда из оставшихся 16 плиток можно сложить квадрат, показанный на рисунке, в точном соответствии с заданными условиями.

448. Если вы попытались, как это часто делают, сначала расставить по местам все 6 экземпляров одной буквы, затем все 6 экземпляров другой и т. д., то обнаружите, что, расположив по 6 экземпляров каждой из четырех букв, можно еще разместить только по 2 экземпляра оставшихся двух букв, так что получится диаграмма, изображенная слева. Секрет заключается в том, чтобы заполнить клетки 6 экземплярами каждой из первых двух букв и пятью экземплярами каждой из остальных четырех букв; при этом получится вторая диаграмма, изображенная справа, только с четырьмя свободными клеточками.

449. Расположите 10 бочек следующими двумя способами, и сумма номеров вдоль каждой из сторон даст 13 — наименьшее возможное число:

Меняя положение номеров (но не сами номера) на каждой из сторон, мы получим по 8 решений в каждом случае, если не будем различать решения, получающиеся друг из друга поворотами и отражениями.

450. С тремя красными, белыми или зелеными лампами мы можем получить по 15 различных комбинаций (45). С одной красной и двумя белыми мы также можем получить 15 комбинаций, и при каждой из них имеется еще по 3 комбинации порядка цветов; всего 45 комбинаций. То же самое получится с одной красной и двумя зелеными, одной белой и двумя красными, одной белой и двумя зелеными, одной зеленой и двумя белыми, одной зеленой и двумя красными лампами (270). С одной красной, одной белой и одной зеленой лампами мы можем получить 6 раз по 15 комбинаций (90). С двумя красными, двумя белыми или двумя зелеными мы можем получить по 7 комбинаций (21). С одной красной и одной белой, или одной красной и одной зеленой, или одной белой и одной зеленой лампами мы можем получить по 14 комбинаций (42). С помощью только одной лампы мы можем послать всего по 1 сигналу (3). Теперь сложите числа в скобках, и вы получите ответ — 471 сигнал.

451. В следующем решении каждый узник скован с каждым из остальных один и только один раз.

Если читателю хочется найти трудную головоломку, над решением которой он мог бы биться в течение целой зимы, то пусть он попытается разбить аналогичным образом на тройки 21 узника в каждый из 15 дней так, чтобы ни одна пара не оказалась скованной дважды.

В случае, если он придет к выводу, что этого сделать нельзя, мы добавим, что у нас есть одно решение. Но это трудный орешек.

452. При данных условиях существует 144 различных способа.

453. Миссис Финч получила 4 по 17 и 2 по 16, а всего 100 очков; Реджи Уотсон выбил 2 по 23 и 4 по 16, а всего 110; мисс Дора Талбот получила один раз 40 и 5 по 16 очков, а всего 120 очков. Она могла выбить свои 120 очков различными способами, если бы в условии не было сказано, что чья-то стрела поразила «яблочко», а это могла быть только ее стрела.

454. Общее число очков равно 213, так что каждый спортсмен выбил по 71 очку, а это можно сделать следующим образом: первый выбил 50, 10, 5, 3, 2 и 1, второй — 25, 20, 20, 3, 2 и 1 и третий — 25, 20, 10, 10, 5 и 1 очко.