Расследование и предупреждение техногенных катастроф. Научный детектив
Шрифт:
Таким образом, замкнутая система устойчива и сохраняет устойчивость не только при малых, но и при больших отклонениях параметра т от номинального значения т = 1.
Решения системы уравнений (10), (12), (13) имеют вид
где C1, C2, C3 — постоянные интегрирования. Для х2,
Однако момент сопротивления х3 и особенно его производную х4 очень трудно непосредственно измерить и ввести в канал обратной связи. Поэтому целесообразно исключить из уравнения объекта управления и регулятора переменные х и х путем эквивалентных преобразований. Проделав их, придем к уравнениям (где
является символом оператора дифференцирования):
[mD3 + (2 + 2 m)D2 + (4 + m)D + 2]x1 = (D +1)2 x2 (16)
[mD2 + (2 + 2m)D + 5]x1 = (D + 1)x2 (17)
Уравнение (16) является уравнением объекта управления, уравнение (17) — уравнением регулятора, который на этот раз для формирования управляющего воздействия х2 использует легко доступную для непосредственного измерения переменную х1.
Для исследования устойчивости системы (16)—(17) достаточно найти корни ее характеристического полинома.
И вот здесь исследователей подстерегала трудность, которая надолго задержала правильный ответ о причинах техногенных катастроф, связанных с «аналитически сконструированными» регуляторами, и укоротила жизнь А. М. Летова: если вычислять характеристический полином системы (16)—(17) по общим математическим правилам как определитель:
то он, как легко проверить, будет равен определителю (14) и мы снова должны будем сделать вывод о том, что замкнутая система устойчива и сохраняет устойчивость при «дрейфе» параметра m .
Однако этот вывод будет ошибочен! Дело в том, что объект управления (электропривод) и регулятор — это разные (хотя и расположенные рядом) устройства, поэтому «дрейф» их параметров может идти независимо друг от друга, образуя самые причудливые комбинации. Рассмотрим простейший (но возможный) случай: параметры регулятора остались равными номинальным значениям (соответствующим т — 1), а в объекте управления механическая постоянная времени немного изменилась. Для анализа устойчивости этого случая надо вычислить определитель:
Пусть m = 1 + , где - малое число и можно пренебречь членами с 2, 3 и др. Тогда сразу видно, что при > 0 замкнутая система неустойчива, в решении системы, кроме членов, отраженных формулой (15), появляется очень быстро растущий четвертый член вида
а при < 0 устойчивость сохраняется. Исключение переменных х и х из уравнения (10), (12), (13) при правильном учете реальных связей между «дрейфом» параметров в технической системе
Формула (19) раскрывает еще одно опаснейшее и очень коварное свойство технических объектов, спроектированных по привычным методикам, без учета новых явлений, открытых в СПбГУ: при изготовлении любого технического устройства малые отклонения реальных параметров (а значит, и коэффициентов математической модели) от расчетных значений неизбежны, но знак этих отклонений не предсказуем. Вполне может оказаться, что реальная величина параметра будет меньше расчетной, т.е. окажется, что < 0. Тогда изготовленное устройство окажется устойчивым и нормально работающим. Оно будет иметь малый запас устойчивости — но на испытаниях реального устройства запас устойчивости проверить чаще всего невозможно (обычно рекомендуемое «покачивание параметров» редко помогает — о причинах этого подробно рассказано в [2]). Поэтому изготовленное устройство будет признано хорошим и может быть установлено, например, на самолете как одна из его многочисленных систем. Устройство будет исправно работать не предсказуемое заранее время — до тех пор, пока при неизбежном в ходе эксплуатации «дрейфе» параметров устройство потеряет устойчивость, «пойдет в разнос» и вызовет аварию, которая может перерасти в катастрофу, с гибелью пассажиров и экипажа.
Подобные аварии происходят не каждый день, а несколько реже только потому, что «особые» системы и устройства, для которых привычные методы расчета дают неверные данные о запасах устойчивости, встречаются не очень часто. Но мириться с авариями нельзя, а предотвращать их можно только проверкой технической документации самолетов на основе методов, разработанных в СПбГУ и «Военмехе».
Формулы (19) и (20) иллюстрируют основные черты аварий, произошедших именно по причине неполноты привычных методов расчета, о которых уже говорилось в параграфе 8: благодаря наличию быстро растущего члена (20) в переходном процессе, авария развивается очень быстро; если же она не привела к гибели самолета, то через некоторое время малый «дрейф» параметров может привести к тому, что малое > 0 превратится в малое < 0 и устройство снова будет работать нормально (хотя малый запас устойчивости сохранится). Мы убеждаемся, что это те самые особенности, которые проявились у аварий над Междуреченском и Бухарестом, о которых говорилось в параграфе 8.
Мы убеждаемся, что научное исследование разъясняет загадочные особенности аварий, ранее казавшиеся очень странными. Заметим, что при исключении части переменных (широко используемом при «аналитическом конструировании» регуляторов) выход системы на границу устойчивости происходит при любых значениях коэффициентов. Это объясняет, почему в 60-е годы аварии с «аналитически сконструированными» регуляторами происходили так часто. Затем структуру регуляторов изменили и аварии стали реже, но не прекратились совсем. Для полного прекращения опасных аварий, связанных с неполнотой привычных методов расчета, нужно использовать дополнительные проверки, описанные в книгах [1], [2], [7].
§ 11. Существуют ли в математике предрассудки?
Математика считается точной и доказательной наукой, которая опирается на обоснованные определения и строгие доказательства. Поэтому ее теоремы считаются безусловно верными и не подлежащими сомнению. Предрассудкам (т. е. привычным, но ложным представлениям) в математике, конечно, не место. Однако проведем научное расследование.
Одной из важнейших теорем математики является теорема о непрерывной зависимости решений систем дифференциальных уравнений от их коэффициентов и параметров. Эта теорема лежит в основе всех инженерных расчетов. Действительно, если непрерывной зависимости решений от коэффициентов и параметров нет, то мы не можем быть уверены в том, что даже сколь угодно малые и поэтому неизбежные на практике отклонения действительных параметров рассчитываемого объекта от расчетных значений не приведут к коренным расхождениям между результатом расчета и реальностью, не можем быть уверены, например, в том, что здание, по расчету обязанное стоять долгие годы (как аквапарк «Трансвааль»), неожиданно не обрушится на головы посетителей. Поскольку данная теорема математиками считается доказанной, инженеры верят математикам и опираются на нее в своих расчетах как на незыблемую скалу.