Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

1.42. Нужно обозначить сторону квадрата через а и составить с помощью теоремы Пифагора биквадратное уравнение для определения а через R и r.

1.43. Вписанный в сегмент квадрат не должен нарушать симметрии сегмента. Поэтому он расположится так, как показано на рис. I.1.43. Обозначим половину стороны квадрата через x и составим уравнение относительно x.

1.44. Чтобы использовать условия задачи, нужно провести радиусы обеих окружностей в точки касания окружностей друг с другом и с нижним основанием. Центр меньшей окружности лежит на биссектрисе угла D.

1.45.

Вначале для определенности удобно предположить, что точки P и Q лежат по разные стороны от CD. В этом случае диаметр CD разделит фигуры РQNМ и Р₁Q₁D на две части (рис. I.1.45). Нужно доказать, что площадь фигуры СQNK равна площади треугольника Q₁OD. При этом полезен будет следующий факт. Если соединить точки Q и О, то, во-первых, угол QОС вдвое больше угла QDС, а во-вторых, треугольники ОQ₁D и ОQD равновелики.

1.46. Соединим точки А и В, P и M и проведем радиусы из центра О в точки А и В (рис. I.1.46). Если длины отрезков AB, АР₁ и ОА = R заданы и отрезок AB построен, то прямоугольный треугольник АРВ и положение точки О определяются однозначно. Следовательно, зная длины этих отрезков, можно вычислить длины интересующего нас отрезка РМ.

1.47. Отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды, перпендикулярен к этой хорде. Зная, что хорда удалена от центра на ^3R/₅, легко выразить ее длину через R.

1.48. Использовать геометрически касание окружности О₂ с окружностью О₁ можно, соединив их центры (рис. I.1.48). Отрезок О₂О₁ пройдет через точку касания. Так как окружность О₂ касается сторон угла ОАВ, то ее центр лежит на биссектрисе угла ОАВ.

1.49. Если в треугольнике АВС провести высоту АN (рис. I.1.49), то искомая площадь будет равна 1/2 АN · BC. Соединив точки M и С, разобьем треугольник АВС на равнобедренный треугольник МСВ и треугольник АМС, у которого угол АМС легко выразить через .

1.50. Задача вычислительная. Нужно воспользоваться формулой Герона и выражением радиуса R через стороны треугольника и его площадь S, т. е. R = ^abc/_4S .

Стороны треугольника удобно обозначить: а, а– d, а + d.

1.51. Проведите через точки P и Q прямые, параллельные AC. Первая будет средней линией треугольника АВС, вторая — средней линией треугольника с вершиной В, которому первая средняя линия служит основанием.

1.52. Соединим точки P и T. Данный треугольник разбивается на пять. Пусть QT = m, TL = n, QN = RL = а. Чтобы использовать условия задачи, можно записать соотношения площадей различных треугольников, образовавшихся из данного треугольника PQR.

1.53. Хорда MN — сторона правильного шестиугольника, вписанного в первую окружность, так как опирающийся на MN центральный угол МО₁N = 60°. Чем является MN для второй окружности?

1.54. Для вписанного в окружность четырехугольника воспользоваться свойством, в силу которого сумма противоположных его углов равна 180°. Удобно обозначить стороны четырехугольника через а, b, с, d, начиная со стороны AB, а опирающиеся на них углы (проведите диагонали) через , , , .

K главе 2

2.1. Предположим, что где-то построен мост (рис. I.2.1). В этом случае путь из А в В будет ломаной, состоящей из трех звеньев. Среднее звено всегда остается неизвестным по длине и направлению. Следовательно, нужно «спрямить» первое и третье звенья.

2.2. Из точки А отрезки МР и РN видны под углом 30° каждый. Следовательно, построить точку А можно как пересечение двух сегментов, вмещающих угол в 30°.

2.3. Пусть треугольник АВС искомый (рис. I.2.3). Чтобы на чертеже появился угол , отразим треугольник АВС от вертикальной оси, проходящей через середину BC. Получим треугольник СА₁А, в котором А₁СА = .

2.4. В любом треугольнике АВС центр описанной окружности лежит на пересечении перпендикуляров, восставленных из середин сторон. Этот факт можно использовать для того, чтобы связать данные элементы треугольника: b и m_с.

2.5. Точки О (центр вписанной окружности) и О₁ (центр вневписанной окружности) лежат на биссектрисе угла А треугольника АВС (рис. I.2.5). Отрезки ОС и О₁С, ОВ и О₁В взаимно перпендикулярны как биссектрисы смежных углов. Поэтому точки В, О, С, О₁ лежат на одной окружности с центром в точке Q.