Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Московский государственный университет

им. M. В. Ломоносова (МГУ) (экономический факультет)

1. Решите уравнение

3^|x| = 5^{x^2 + 3x}.

2. Решите систему неравенств

3.

В треугольнике АВС со стороной AB = 5 из вершины В к стороне AC проведены медиана ВМ = 22 и высота ВН = 2. Найдите сторону ВС, если известно, что АВС + ACВ < 90°.

4. Банк планирует вложить на один год 40% имеющихся y него средств клиентов в проект X, а остальные 60% — в проект Y. В зависимости от обстоятельств проект X может принести прибыль в размере от 19 до 24% годовых, а проект Y — от 29 до 34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке. Определите наименьший и наибольший возможный уровень процентной ставки по вкладам, при которых чистая прибыль банка составит не менее 10% и не более 15% годовых от суммарных вложений в проекты X и Y.

5. Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной, периодической с периодом 4, и на промежутке 0 <= x <= 2 ее значения вычисляются по правилу f(x) = 1 - |x– 1|. Решите уравнение

2 f(x) f(x– 8) + 5 f(x + 12) + 2 = 0.

6. Найдите все значения параметра а, при которых периметр фигуры, заданной на координатной плоскости условием

будет наименьшим.

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

1. Найдите положительный тангенс угла между касательными к гиперболе xy = 1

в точках с абсциссами х₁ = 1, х₂ = 2.

2. Найдите (в радианах) все решения уравнения

tg^3 x^2 + tg^2 x^2 + ctg^2 x^2 + ctg^3 x^2 - 4 = 0.

3. Найдите наименьшее значение выражения

x^2 + y^2 + ²/_|x|·|y|.

4. Вычислите, если x < 0:

5. Вектор

, коллинеарный вектору {12; -16; -15}, образует острый угол с осью Oz. Зная, что

 = 100, найдите его первую координату.

6. Решите уравнение

log_{1 + 2x} (6x^2 + 5x + 1) - log_{1 + 3x} (4x^2 + 4x + 1) = 2.

7. Найдите наибольшее целое решение неравенства

9 · 16^{– 1/x} + 5 · 36^{– 1/x} < 4 · 81^{– 1/x}.

8. Производительность труда рабочего повышалась дважды на одно и то же число процентов. На сколько процентов возрастала каждый раз производительность труда, если за одно и то же время рабочий раньше вырабатывал изделий на 25 000 р., а теперь — на 28 000 р.?

9. Найдите квадрат биссектрисы внутреннего угла С треугольника АВС, если АВ = 2, ВС = 4, АС = 2.

10. Ребро куба равно 36. Найдите кратчайшее расстояние между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю основания куба.