Софья Васильевна Ковалевская
Шрифт:
Конец занятий в Берлине
В октябре 1873 г. Соня в Берлине возобновила занятия Математикой. Вейерштрасс оказался действительно сильно загруженным, что видно из его писем, например:
Берлин, пятница 14 ноября 73 (утром)
Дорогой друг, я позавчера ошибся, сказав Тебе, что смогу прийти к Тебе вчера или сегодня. Но сегодня (пятница) я определенно с 5 часов дома. Не посетишь ли Ты меня и не принесешь ли c собой некоторый математический материал? Я жду Тебя, если Ты не откажешься. В субботу я снова занят, а в настоящее время еще не могу определить, что будет в воскресенье
Твой К. В. [125, с. 170].
Через несколько дней, 19 ноября, он пишет, что посылает ей еще серию «Песен без слов», которые все относятся к минимальным поверхностям. Г. А. Шварц как раз занимался минимальными поверхностями, следуя идеям своего учителя Вейерштрасса. Возможно, рассказы Ковалевской о беседах со Шварцем содействовали тому, что Вейерштрасс вернулся к теории минимальных поверхностей. Теперь pH собрал отдельные листы записок и просит свою ученицу сохранить их в том порядке, в каком он их разложил. «Я хотел их тотчас же доверить Твоим рукам, чтобы они у меня снова не пришли в беспорядок» [125, с. 171].
Вейерштрасс сообщает Соне о своем плане в дальнейшем заниматься с нею теорией линейных дифференциальных уравнений. После многих дней «безотраднейшей» ра¬
69
боты, 29 ноября, Вейерштрасс просит Соню прийти к нему со всеми записками и захватить то, что она сделала в последнее время [125, с. 173].
В письме от 6 декабря Вейерштрасс просит Соню прийти для занятий пораньше, приблизительно около половины третьего, так как в половине седьмого он должен уйти [125, с. 174].
Математические вопросы, которые рассматривает Вейерштрасс в письмах 1873—1874 гг., относятся к теории целых комплексных чисел с п единицами, к приведению абелевых интегралов и к уравнению теплопроводности. Первая задача очень интересовала Вейерштрасса, и хотя она стояла в стороне от тех задач, которыми занималась Соня, он рассказывал ей об этих особых комплексных числах. Два других вопроса были связаны с задачами, предназначенными для Сониной диссертации. Остановимся на последнем вопросе.
Дальше мы подробнее расскажем о том, как Ковалевская обнаружила, что могут существовать ряды, формально удовлетворяющие уравнению с частными производными, но нигде не сходящиеся. Это побудило Вейерштрасса к дальнейшему исследованию вопроса о структуре решений простейшего уравнения параболического типа, и в письме от 6 мая 1874 г. он высказывает Соне свои соображения н заканчивает письмо словами:
«Обо всем этом и некоторых связанных с этим вопросах мы подробнее поговорим при свидании. Ты видишь, дорогая Соня, что Твое (кажущееся Тебе таким простым) замечание о своеобразии дифференциальных уравнений с частными производными, именно, что бесконечный ряд такому дифференциальному уравнению формально удовлетворяет и тем не менее не сходится ни при какой системе значений переменных, явилось для меня исходной точкой для интересных и многое разъясняющих исследований.
Я желал бы, чтобы моя ученица и в дальнейшем таким же образом выражала благодарность своему учителю и другу» [125, с. 178].
Вейерштрасс возвращается к уравнению теплопроводности
Вот небольшая задача. Дифференциальное уравнение с частными производными
дер
dt дх*
70
имеет частный интеграл
<P = (^)-V*», и =-±г-(Х — %), (**)
где Я, р, V обозначают произвольные постоянные, a F (и) должно удовлетворять дифференциальному уравнению
F" (и) + 4" V-uF< (и) + (AvF (и) = 0. (***)
Каково общее решение этого уравнения?
При р=1, v=V2 можно взять
V?
F(u) = f(%)e~.
Тогда из частного интеграла
(Р = МШ- e~ll' [(as-AWq
Vt
получается общий интеграл
оо
Ф= jj -IW-e-V«
—оо ^*
Однако, если при бесконечно больших значениях Я /(Я) становится в больщей степени бесконечным, чем функция е-<*2 дри сколь угодно малой постоянной с, то предыдущее выражение не имеет смысла. Можно ли в этом случае получить более пригодное выражение, применяй общую функцию F (и), удовлетворяющую построенному дифференциальному уравнению при других значениях постоянных р, V? Или же произвольная функция необходимо связана с ограничением, что при Я=з=°° обязательно
[125, с. 178]
Последнее письмо, которое Вейерштрасс написал Соне в ее бытность в Берлине, помечено 18 августа 1874 г. В это время она собиралась на родину, тогда как Юлия Лермонтова думала еще остаться на некоторое время в Берлине. Вейерштрасс предлагает свои услуги: «если я могу быть полезен в каком-нибудь духе сегодня Тебе или Юлии... скажи своей приятельнице, что с 4 октября я во всяком случае буду здесь» [125, с. 187] и что она может обращаться за помощью.
Диплом доктора философии
Вейерштрасс восхищался математическими способностями своей ученицы: «Что касается математического образования Ковалевской, то могу заверить, что я имел очень
71
немногих учеников, которые могли бы сравниться с нею но прилежанию, способностям, усердию и увлечению наукой»,— писал он Фуксу [13, с. 346].
В 1874 г. Вейерштрасс возбудил перед Геттингенским университетом вопрос о присуждении С. В. Ковалевской степени доктора философии in absentia (т. е. заочно) и бед экзаменов. В ряде писем, посланных по этому поводу профессорам Геттингенского университета, Вейерштрасс дает характеристику трех работ, представленных Ковалевской, из которых каждая, по его мнению, была достаточна для получения искомой степени [13, с. 344].
Первая из этих работ, «К теории уравнений в частных производных» [1], содержит доказательство теоремы существования голоморфного решения системы уравнений с частными производными нормального вида. Известно, что Коши в 1842 г. дал теорему существования для линейной системы уравнений с частными производными и указал, как привести к этому случаю нелинейную систему [138, 139]. Однако Ковалевская, как и Вейерштрасс, не знала этих работ Коши.
Заметим, что голоморфной, или аналитической, функцией переменных Xi, х2, ..., хп в окрестности точки яД х%,..., Хп называется функция, разложимая в ряд: