Тайны чисел: Математическая одиссея

Сотой Маркус

Как считать до 60 на пальцах

И сегодня у нас остаются следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления. В минуте 60 секунд, а в часе 60 минут. В круге 360 = 6 x 60 градусов. Имеются свидетельства, что вавилоняне использовали пальцы для счета до 60, причем довольно изощренным способом.

Если исключить большой палец, то на каждом из четырех оставшихся пальцев руки по три фаланги. Поэтому большим пальцем вы можете указать на одну из 12 фаланг. Левая рука используется для счета до 12. Затем 4 пальца правой руки используются для обозначения количества дюжин. В общей сложности вы можете так досчитать до пяти дюжин (4 дюжины на правой руке плюс одна дюжина на левой), то есть до 60.

Например, чтобы обозначить

простое число 29, вам требуется показать две дюжины на правой руке и на фалангу, обозначающую 5, на левой.

Рис. 1.11

Вавилоняне близко подошли к открытию очень важного числа в математике – ноля. Ведь у вас появится проблема, если вы захотите записать клинописью простое число 3607. Оно представляется как 60 «шестидесятков» (3600 или 60 в квадрате) плюс 7. Его можно было бы перепутать с другим простым числом 67, не будь специального символа для обозначения пустого разряда. Этот символ находится посередине рис. 1.12, на котором записано число 3607.

Рис. 1.12

Но вавилоняне не считали ноль отдельным числом. Для них это был лишь символ в позиционной системе, использующийся для обозначения того, что отсутствуют определенные степени 60. Математике пришлось ждать еще 2700 лет, пока в VII в. индийцы не ввели ноль как число и не исследовали его свойства. Вавилоняне не только придумали изощренный способ записи чисел, но и первыми научились решать квадратные уравнения, чему теперь учат всех детей в школе. У них также появились намеки на теорему Пифагора о прямоугольных треугольниках. Однако нет никаких свидетельств того, что вавилоняне ценили красоту простых чисел.

Какое это простое число?

Рис. 1.13

Центральноамериканская цивилизация майя находилась в своем расцвете с 200 по 900 г. Ее территория простиралась от Южной Мексики через Гватемалу до Сальвадора. У них была изощренная числовая система, разработанная для проведения сложных астрономических вычислений. Вот так они записали бы число 17. В отличие от египтян и вавилонян, основанием числовой системы у майя было 20. Они использовали точку для обозначения единицы, две точки – для двух, три точки – для трех. Подобно тюремному заключенному, отмечающему мелом дни на стене, они проводили черту через четыре точки, когда доходили до 5. Итак, черта соответствует пяти.

Эта система соответствует тому принципу, что наш мозг может быстро распознавать небольшие количества – мы легко различаем один, два, три или четыре предмета, – но далее положение становится все сложнее и сложнее. После того как майя доходили до 19 – трех черт, над которыми было четыре точки, – они начинали новую колонку, подсчитывавшую количество двадцаток. Следующая колонка должна была бы учитывать количество групп по 400 (20 x 20), но в причудливой системе майя она учитывала количество групп по 360 (20 x 18). Этот странный выбор связан с циклами в календаре майя. Один цикл состоит из 18 месяцев, в каждом из которых по 20 дней. (Таким образом, получается 360 дней. Чтобы получить 365 дней в году, они добавляли дополнительный месяц, в котором было 5 «плохих дней», считавшихся крайне несчастливыми.)

Интересно, что, как и у вавилонян, у майя был специальный символ для обозначения отсутствия определенных степеней 20. Каждый разряд в их числовой системе был связан с тем или иным богом, и оттого считалось непочтительным, что богу ничего не дано. Поэтому «ничто» обозначалось изображением ракушки. Создание этого символа было в равной мере обусловлено математическими и религиозными соображениями. Но, как и вавилоняне, майя не считали ноль самостоятельным числом.

Майя была нужна числовая система,

способная считать очень большие числа, потому что их астрономические вычисления охватывали огромные временные циклы. Один цикл времени, измеряемый так называемым «длинным счетом», начался 11 августа 3114 г. до н. э., в нем пять разрядов, и он длится 20 x 20 x 20 x 18 x 20 дней. Это составляет 7890 лет. Значимой датой в календаре майя будет считаться 21 декабря 2012 г., которое соответствует 13.0.0.0.0. Подобно тому как дети на задних сиденьях машины ждут, когда одометр совершит полный круг, жители Гватемалы полны предвкушения наступающего события. Однако некоторые пророки конца света утверждают, что он придется на этот день.

Рис. 1.14

Хотя это скорее буквы, чем числа, именно так записывается число 13 на иврите. В еврейской традиции гематрии буквам алфавита даны числовые значения. Так, гимел – третья буква алфавита, а йод – десятая. Поэтому эта комбинация букв представляет число 13. В таблице 1.01 приведены числовые значения всех букв.

Люди, сведущие в каббале, любят игры с числовыми значениями различных слов и их интерпретациями. Например, числовое значение моего имени

такое же, как и у «славного человека», либо, альтернативно, у «ослов». Одно из объяснений того, что 666 считается числом зверя, состоит в том, что таково числовое значение имени Нерон, который был одним из самых жестоких римских императоров.

Таблица 1.01

Хотя простым числам не придавалось особого значения в еврейской культуре, таким значением обладали родственные им числа. Возьмите какое-либо число и найдите все числа (за исключением самого числа), на которые оно делится без остатка. В случае, когда сумма всех найденных делителей равна самому числу, оно называется совершенным. Первое совершенное число – это 6. Помимо самого числа 6 его делителями являются 1, 2 и 3. Сложите их вместе, и вы снова получите 6. Следующее совершенное число – это 28. Сумма его делителей 1, 2, 4, 7 и 14 опять-таки равна 28. Согласно иудаизму, мир был создан за 6 дней, а в лунном месяце еврейского календаря было 28 дней. Это привело к сложившемуся в еврейской культуре убеждению, что у совершенных чисел должно быть особое значение.

Вы можете найти число, отвечающее вашему имени, сложив значения, приведенные в таблице 1.01. Чтобы найти другие слова, отвечающие тому же числовому значению, что и ваше имя, посетите http://bit.ly/Heidrick.

Математические и религиозные свойства совершенных чисел также отмечались христианскими комментаторами. Святой Августин (354–430) написал в своем знаменитом труде «О граде Божьем»: «Шесть – совершенное число само по себе, а не потому, что Бог сотворил все сущее за шесть дней; скорее наоборот. Бог сотворил все сущее за шесть дней, потому что это число совершенно».

Весьма интригует то, что за совершенными числами скрываются простые. Каждое совершенное число соответствует простому числу специального вида, так называемому числу Мерсенна (подробнее о них далее в этой главе). К настоящему времени нам известны лишь 47 совершенных чисел. В самом большом из них 25 956 377 цифр. Четные совершенные числа всегда имеют вид 2^N – 1(2^N – 1). Всякий раз, когда 2^N – 1(2^N – 1) совершенно, 2^N – 1 является простым числом и наоборот. Мы до сих пор не знаем, существуют ли нечетные совершенные числа.