Тени разума. В поисках науки о сознании
Шрифт:
N = 2 x 3 x 5 x … x p + 1.
Число N, безусловно, больше p, однако оно не делится ни на одно из простых чисел 2, 3, 5, ..., p(поскольку при делении получаем единицу в остатке), откуда следует, что Nлибо и есть искомое наибольшее простое число, либо оно является составным, и тогда его можно разделить на простое число, большее p. И в том, и в другом случае мы находим простое число, большее p, что противоречит исходному допущению, заключавшемуся в том, что pесть наибольшее простое число. Следовательно, наибольшее простое число отыскать нельзя.
Такое рассуждение, основываясь на reductio ad absurdum, не просто показывает, что требуемому условию не соответствует некое частное простое число р, поскольку можно отыскать число больше него; оно показывает, что наибольшего простого числа просто не может существовать в природе. Аналогично, представленное выше доказательство Гёделя—Тьюринга не просто показывает, что нам не подходит тот или иной частный алгоритм А, оно демонстрирует, что в природе не существует алгоритма (познаваемо обоснованного), который был бы эквивалентен способности человека к интуитивному пониманию, которую мы применяем для установления
Q6. Можно составить программу, выполняя которую, компьютер в точности повторит все этапы представленного мною доказательства. Не означает ли это, что компьютер оказывается в состоянии самостоятельно прийти к любому заключению, к какому пришел бы я сам?
Отыскание конкретного вычисления C k( k) при заданном алгоритме А, безусловно, представляет собой вычислительный процесс. Более того, это можно достаточно явно показать [13] . Означает ли это, что предположительно неалгоритмическая математическая интуиция — интуиция, благодаря которой мы определяем, что вычисление C k( k) никогда не завершается, — на деле является все же алгоритмической?
13
Чтобы подчеркнуть, что я принимаю это обстоятельство во внимание, я отсылаю читателя к Приложению А, где представлена явная вычислительная процедура (выполненная в соответствии с правилами, подробно описанными в НРК, глава 2) для получения операции C k( k) машины Тьюринга посредством алгоритма A. Здесь предполагается, что алгоритм Aзадан в виде машины Тьюринга T a. определение же вычисления C q( n) кодируется как операция машины T aнад числом q, а затем над числом n.
Думаю, данное суждение следует рассмотреть более подробно, поскольку оно представляет собой одно из наиболее распространенных недоразумений, связанных с гёделевским доказательством. Следует особо уяснить, что оно не сводит на нетничего из сказанного ранее. Хотя процедуру отыскания вычисления C k( k) с помощью алгоритма Aможно представить в виде вычисления, это вычисление не входит в перечень процедур, содержащихся в A. И не может входить, поскольку самостоятельно алгоритм Aне способен установить истинность C k( k), тогда как новое вычисление (вкупе с A), судя по всему, вполне на это способно. Таким образом, несмотря на то, что с помощью нового вычисления действительно можно отыскать вычисление C k( k), членом клуба «официальных установителей истины» оно не является.
Изложим все это несколько иначе. Вообразите себе управляемого компьютером робота, способного устанавливать математические истины с помощью алгоритмических процедур, содержащихся в A. Для большей наглядности я буду пользоваться антропоморфной терминологией и говорить, что робот «знает» те математические истины (в данном случае — связанные с установлением факта незавершаемости вычислений), которые он может вывести, применяя алгоритм A. Однако если наш робот «знает» лишь A, то он никак не сможет«узнать», что вычисление C k( k) не завершается, даже если процедура отыскания C k( k) с помощью Aявляется целиком и полностью алгоритмической. Мы, разумеется, могли бы сообщитьроботу о том, что вычисление C k( k) и в самом деле не завершается (воспользовавшись для установления этого факта собственными пониманием и интуицией), однако, если робот примет это утверждение на «веру», ему придется изменить свои собственные правила, присоединив полученную новую истину к тем, что он уже «знает». Мы можем пойти еще дальше и каким-либо способом сообщить нашему роботу о том, что для получения новых истин на основании старых ему, помимо прочего, необходимо «знать» и общую вычислительную процедуру отыскания C k( k) посредством алгоритма A. К запасу «знаний» робота можно добавить все, что является вполне определенным и вычислительным по своей природе. Однако в результате у нас появляется новыйалгоритм « A», и доказательство Гёделя следует применять уже к нему, а не к старому A. Иначе говоря, везде вместо старого Aнам следовало бы использовать новый « A», поскольку менять алгоритм посреди доказательства есть не что иное, как жульничество. Таким образом, как мы видим, изъян возражения Q6очень похож на рассмотренный выше изъян Q5. В нашем reductio ad absurdumмы полагаем, что алгоритм А (под которым понимается некая познаваемая и обоснованная процедура для установления факта незавершаемости вычислений) в действительности представляет собой всю совокупностьизвестных математикам подобных процедур, из чего и следует противоречие. Попытку введения еще одной вычислительной процедуры для установления истины — процедуры, не содержащейся в A, — послетого как мы договорились, что Aпредставляет собой всю их совокупность, я расцениваю как жульничество.
Беда нашего злосчастного робота в том, что, не обладая каким бы то ни было пониманиемгёделевской процедуры, он не располагает ни одним надежным и независимым
Q7. Общая совокупность результатов, полученных всеми когда-либо жившими математиками, плюс совокупность результатов, которые будут получены всеми математиками за последующую, скажем, тысячу лет, — имеет конечную величину и может уместиться в банках памяти соответствующего компьютера. Такой компьютер, естественно, способен без особого труда воспроизвести все эти результаты, и, тем самым, повести себя (внешне) как математик-человек — что бы ни утверждало по этому поводу гёделевское доказательство.
Несмотря на кажущуюся логичность этого утверждения, здесь упущен из виду один очень существенный момент, а именно: способ, посредством которого мы (или компьютеры) определяем, какие математические утверждения истинны, а какие — ложны. (Во всяком случае, на простое хранениематематических утверждений способны и системы, гораздо менее сложные, нежели универсальный компьютер, — например, фотоаппараты.) Принцип использования компьютера в Q7совершенно не учитывает критического вопроса о наличии у этого самого компьютера способности суждения об истинности. С равным успехом можно вообразить и компьютеры, в памяти которых не содержится ничего, кроме перечня абсолютно ложных математических «теорем», либо случайным образом перемешанных истинных и ложных утверждений. Откуда мы узнаем, какому компьютеру можно доверять? Я отнюдь не утверждаю, что эффективное моделирование результатов сознательной интеллектуальной деятельности человека (в данном случае, в области математики) абсолютно невозможно, поскольку по одной лишь чистой случайности компьютер может «умудриться» сделать все правильно, пусть и не обладая каким бы то ни было пониманием. Однако шансы на это до абсурдного малы, в то время как те вопросы, на которые мы здесь пытаемся найти ответ (например, каким таким образом мы определяем, что вот это математическое утверждение истинно, а вот это — ложно?), в возражении Q7и вовсе не затрагиваются.
С другой стороны, Q7все же напоминает об одном более существенном соображении. Имеет ли непосредственное отношение к нашему исследованию обсуждение бесконечных структур ( всехнатуральных чисел или всехвычислений), если учесть, что совокупность всех результатов, полученных на тот или иной момент времени всеми людьми и компьютерами, имеет конечнуювеличину? В следующем комментарии мы рассмотрим этот безусловно важный вопрос отдельно.
Q8. Незавершающиеся вычисления суть идеализированные математические конструкции, по определению бесконечные. Вряд ли подобные вопросы могут иметь сколько-нибудь непосредственное отношение к изучению конечных физических объектов — таких, как компьютеры или мозг.
Все верно: рассуждая в идеализированном ключе о машинах Тьюринга, незавершающихся вычислениях и т.п., мы рассматривали бесконечные (потенциально) процессы, тогда как в случае людей или компьютеров нам приходится иметь дело с системами конечными. И, разумеется, применяя подобные идеализированные доказательства к реальным и конечным физическим объектам, следует быть готовыми к тому, что такая операция непременно окажется связанной с теми или иными ограничениями и оговорками. Однако, как выясняется, учет конечной природы реальных объектов не изменяет сколько-нибудь существенно сути доказательства Гёделя—Тьюринга. Нет ничего странного в том, что мы рассуждаемоб идеализированных вычислениях, обосновываем те или иные умозаключения и выводим, математически, их теоретические ограничения. Можно, к примеру, обсуждать в абсолютно конечных терминах вопрос о том, существует ли нечетное число, являющееся суммой двух четных чисел, или существует ли натуральное число, не являющееся суммой четырех квадратов (как в приведенных выше задачах (C)и (B)), нисколько не смущаясь тем, что при рассмотрении этих вопросов мы неявно учитываем бесконечное множество всехнатуральных чисел. Мы имеем полное право рассуждать о незавершающихся вычислениях (или машинах Тьюринга вообще) как о математическихструктурах, пусть и не в силах создать на практике бесконечно работающую машину Тьюринга. (Отметим, в частности, что действие машины Тьюринга, занятой поисками нечетного числа, являющегося суммой двух четных чисел, строго говоря, практически реализовать невозможно, так как ее детали износятся гораздо раньше, чем минет вечность.) Описание любого единичного вычисления (или действия машины Тьюринга) — задача вполне конечная, а вопрос о том, завершится ли в конечном итоге это вычисление, можно полагать вполне определенным. Сначаламы доводим до логического завершения теоретические рассуждения, связанные с теми или иными идеализированными вычислениями, и лишь затемпытаемся разглядеть, каким образом наши рассуждения применимы к конечным физическим системам — таким, как реально существующие компьютеры или люди.