Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Тени разума. В поисках науки о сознании
Шрифт:

В следующей главе мы попытаемся ответить на эти каверзные вопросы. Я убежден, что именно они являются центральными в нашем поиске места невычислимости в физических процессах.

Приложение B: Нераскрашиваемость додекаэдра

Напомним условие задачи, поставленной в §5.3 . Предлагается показать, что невозможно раскрасить все вершины додекаэдра в БЕЛЫЙ и ЧЕРНЫЙ цвета, соблюдая следующие условия: две «следующие соседние» вершины не могут обе быть БЕЛЫМИ, а шесть вершин, соседних с двумя противоположными (антиподальными) вершинами, не могут быть все ЧЕРНЫМИ. При исключении возможных вариантов раскраски чрезвычайно полезной оказывается симметричность додекаэдра.

Обозначим вершины, как указано на рис. 5.29 . Вершины A, B, C, D и E образуют ближайшую к нам пятиугольную грань додекаэдра; дальше, в том же

порядке, следуют соседние с ними вершины F, G, H, I и J. Как и в §5.18 , соответствующие антиподальные вершины обозначены через A*, …, J*. Для начала отметим, что, согласно второму свойству условия, среди вершин додекаэдра хотя бы одна должна быть БЕЛОЙ — пусть это будет A.

Предположим теперь, что среди непосредственных соседей БЕЛОЙ вершины A имеется еще одна БЕЛАЯ вершина — скажем, B (см. рис. 5.29 ). Тогда все десять вершин, окружающие эту пару, — C, D, E, J, H*, F, I*, G, J* и H — должны быть ЧЕРНЫМИ, так как каждая из них является следующей соседней по отношению либо к A, либо к B. Далее, возьмем шесть вершин, соседних с вершинами из антиподальной пары H, H*. В этой шестерке должна быть хотя бы одна БЕЛАЯ вершина, значит, БЕЛОЙ будет либо F*, либо C* (или обе сразу). Проделав ту же процедуру с парой J, J*, приходим к выводу, что здесь БЕЛОЙ должна быть либо вершина G*, либо E* (или, опять же, обе сразу). Но это невозможно! И G*, и E* являются следующими соседними по отношению как к F*, так и к С*. Следовательно, вариант, когда у БЕЛОЙ вершины А имеется БЕЛЫЙ же непосредственный сосед, исключается — в самом деле, ввиду симметричности додекаэдра, невозможной оказывается любая пара соседних БЕЛЫХ вершин.

Таким образом, вершина A должна быть окружена исключительно ЧЕРНЫМИ вершинами B, C, D, E, J, H*, F, I* и G, поскольку каждая из этих вершин является по отношению к A либо соседней, либо следующей соседней. Обратим наше внимание на шесть вершин, соседних с вершинами из антиподальной пары A, A*. Очевидно, что одна из вершин B*, E* или F* должна быть БЕЛОЙ, причем, в силу симметричности додекаэдра, неважно, какая именно, — пусть будет F*. Отметим, что вершины E* и G* являются следующими соседними по отношению к F*, значит, они обе должны быть ЧЕРНЫМИ; ЧЕРНОЙ должна быть и вершина H, поскольку она соседствует с F*, а мы только что исключили возможность существования соседних БЕЛЫХ вершин. Однако так раскрашивать вершины нельзя, потому что при этом всесоседи антиподальных вершин J, J* оказываются ЧЕРНЫМИ. Вот, собственно, и все доказательство — в классическоммире магические додекаэдры невозможны!

Приложение C: Ортогональность общих спиновых состояний

Предложенное Майораной обобщенное описание спиновых состояний не пользуется широкой известностью среди физиков, хотя оно весьма удобно и геометрически наглядно. Я расскажу здесь вкратце об основных формулах и о некоторых их геометрических приложениях. Мы, в частности, получим необходимые для рассуждения в §5.18 отношения ортогональности, определяющие геометрию магических додекаэдров. Мои описания существенно отличаются от тех, что первоначально сформулировал Майорана [ 252 ], приближаясь, скорее, к описаниям, данным в [ 299 ] и [ 396 ].

Идея заключается в том, что берется неупорядоченное множество из п точек на сфере Римана, каковые точки рассматриваются как корни комплексного полинома степени n, коэффициенты которого, в свою очередь, используются в качестве координат ( n+ 1)-мерного гильбертова пространства спиновых состояний (массивной) частицы со спином 1/2 n. Как и в §5.10 , основными состояниями будем считать различные возможные результаты измерения спина в вертикальном направлении; представим эти состояния в виде одночленов (добавив соответствующие нормирующие множители, чтобы сохранить единичную длину векторов состояний):

|^^^^…^^ — x n

|V^^^…^^ — n 1/2 x n– 1

|VV^^…^^ — { n( n– 1)/2!} 1/2 x n– 2

|VVV^…^^ — { n( n– 1)( n– 2)/3!} 1/2 x n– 3

|VVVV…V^ — n 1/2 x

|VVVV…VV — 1.

(Выражения

в фигурных скобках — биномиальные коэффициенты.) Таким образом, общее состояние спина 1/2 n,

z 0|^^^…^^ + z 1|V^^…^^ + z 2|VV^…^^ + z 3|VVV…^^ + … + z n|VVV…VV,

представляется в виде полинома

p( x) = a 0+ a 1 x+ a 2 x 2+ a 3 x 3+ … + a nx n,

где

a 0= z 0, a 1= n 1/2 z 1, a 2= { n( n– 1)/2!} 1/2 z 2, … a n= z n.

Корням x= 1, 2, 3, …, nполинома p( x) = 0 соответствуют nточек на сфере Римана, определяющие описание Майораны. Допускается и майоранова точка, задаваемая корнем x= , — южный полюс сферы, — это происходит, когда степень полинома P( x) оказывается меньше nна величину, определяемую кратностью этой точки.

Вращение сферы осуществляется посредством следующего преобразования: сначала выполняем замену

x ( x– )( ' x+ ') —1

(где ' + ' = 1), а затем избавляемся от знаменателей, умножив все выражение на ( ' x+ ') n . Таким образом, можно получить полиномы, соответствующие результатам измерений (скажем, с помощью установки Штерна—Герлаха) спина в произвольно выбранном направлении, что дает выражения вида

c( x– ) p ( ' x+ ') np.

Точки, задаваемые отношениями / и — '/ ', являются антиподальными на сфере Римана и соответствуют направлению измерения спина и направлению, противоположному ему. (Это предполагает некий подходящий выбор фаз для состояний |^^^…^, |V^^…^, |VV^…^, …, |VVV…V. Вышеупомянутые свойства и их детальные обоснования удобнее всего рассматривать в терминах 2-спинорного формализма. За подробностями отсылаю читателя к [ 301 ], с. 162 и §4.15. Общее состояние спина 1/2 nописывается там через симметрический n– валентный спинор, при этом майораново описание выводится из канонического разложения спинора на симметризованное произведение спиновых векторов.)

Поделиться:
Популярные книги

Секретарша генерального

Зайцева Мария
Любовные романы:
современные любовные романы
эро литература
короткие любовные романы
8.46
рейтинг книги
Секретарша генерального

Имперский Курьер. Том 3

Бо Вова
3. Запечатанный мир
Фантастика:
попаданцы
аниме
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Имперский Курьер. Том 3

Я – Стрела. Трилогия

Суббота Светлана
Я - Стрела
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
эро литература
6.82
рейтинг книги
Я – Стрела. Трилогия

Не грози Дубровскому! Том II

Панарин Антон
2. РОС: Не грози Дубровскому!
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Не грози Дубровскому! Том II

Имперский Курьер

Бо Вова
1. Запечатанный мир
Фантастика:
попаданцы
аниме
фэнтези
фантастика: прочее
5.00
рейтинг книги
Имперский Курьер

(Не) Замена

Лав Натали
3. Холодовы
Любовные романы:
современные любовные романы
эро литература
5.00
рейтинг книги
(Не) Замена

Невеста на откуп

Белецкая Наталья
2. Невеста на откуп
Фантастика:
фэнтези
5.83
рейтинг книги
Невеста на откуп

Новый Рал 5

Северный Лис
5. Рал!
Фантастика:
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Новый Рал 5

Офицер-разведки

Поселягин Владимир Геннадьевич
2. Красноармеец
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Офицер-разведки

Новый Рал 8

Северный Лис
8. Рал!
Фантастика:
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Новый Рал 8

Идеальный мир для Лекаря 14

Сапфир Олег
14. Лекарь
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря 14

Бывшие. Война в академии магии

Берг Александра
2. Измены
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
7.00
рейтинг книги
Бывшие. Война в академии магии

Бандит 2

Щепетнов Евгений Владимирович
2. Петр Синельников
Фантастика:
боевая фантастика
5.73
рейтинг книги
Бандит 2

Попаданка в академии драконов 4

Свадьбина Любовь
4. Попаданка в академии драконов
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
7.47
рейтинг книги
Попаданка в академии драконов 4