Теорема века. Мир с точки зрения математики
Шрифт:
Все перемены, какие могут происходить с телами природы, управляются двумя экспериментальными законами:
1. Сумма кинетической энергии и потенциальной энергии не меняется. Это – принцип сохранения энергии.
2. Если система тел в момент t0 имеет конфигурацию А, а в момент t1 – конфигурацию В, то переход от первой конфигурации ко второй всегда совершается таким путем, что среднее значение разности между двумя видами энергии за промежуток времени от t0 до t1 является величиной,
Энергетическая теория сравнительно с классической имеет следующие преимущества:
1) она является более полной, т. е. принцип сохранения энергии и принцип Гамильтона сообщают нам больше, чем сообщали основные принципы классической теории; они исключают некоторые движения, которые не реализуются в природе, но совместимы с классической теорией;
2) она освобождает нас от атомистической гипотезы, которую было почти невозможно избежать в классической теории.
Но в свою очередь энергетическая система создает и новые трудности. Именно, определение двух видов энергии представляет почти столь же значительные трудности, как и определение силы и массы в первой системе. Однако избавиться от них легче, по крайней мере в наиболее простых случаях.
Представим себе изолированную систему, состоящую из некоторого числа материальных точек; пусть эти точки находятся под действием сил, зависящих только от их расстояний и относительного расположения, но не зависящих от их скоростей. В силу принципа сохранения энергии система должна иметь силовую функцию.
В этом простом случае выражение принципа сохранения энергии крайне просто. Некоторая доступная измерению величина должна оставаться постоянной. Эта величина представляет собой сумму двух членов; первый зависит только от положения материальных точек и не зависит от их скоростей; второй представляет собой линейную функцию квадратов скоростей. Такое разложение может быть сделано только одним способом. Первый член, который я обозначу через U, будет потенциальной энергией, второй, который я обозначу через T, будет кинетической энергией.
Конечно, если Т + U равняется постоянной величине, то это же самое будет иметь место для любой функции величины Т + U, т. е. для
(T + U).
Но эта функция (T + U) не будет суммой двух членов, из которых один был бы независим от скоростей, а другой зависел бы линейно от их квадратов. Между функциями, сохраняющими постоянную величину, есть только одна, обладающая таким свойством, а именно Т + U (или любая линейная функция Т + U – это не имеет значения, ибо такая линейная функция всегда может быть приведена к виду Т + U путем преобразования масштаба и перемены начала). Это выражение мы и назовем энергией; первый член будет иметь значение кинетической энергии, второй – значение потенциальной энергии. Таким образом, определение обоих видов энергии может быть доведено до конца без всякой двусмысленности. Точно так же может быть дано определение масс. Кинетическая энергия, или живая сила, весьма просто выражается через массы материальных точек и через их скорости, соотнесенные к какой-нибудь одной из них. Эти относительные скорости доступны наблюдению, и если мы будем знать выражение кинетической энергии как функции относительных скоростей, то массы представятся коэффициентами этого выражения.
Итак, в этом простом случае определение основных понятий является делом легким. Но трудности опять возникают в более сложных случаях, как, например, если силы зависят не только от расстояний, но и от скоростей. Вебер предполагает, что взаимодействие двух электрических частиц зависит не только от их расстояния, но также от их скорости и ускорения. Если бы материальные точки притягивались по тому же закону, U зависело бы от скоростей и могло бы содержать член, пропорциональный квадрату скорости. Но как в этом случае можно было бы среди
Однако это не все. Необходимо принять в расчет не только механическую энергию в собственном смысле, но также другие виды энергии: теплоту, химическую энергию, электрическую энергию и другие. Тогда принцип сохранения энергии примет вид
Т + U + Q = const,
где Т означает воспринимаемую кинетическую энергию, U – потенциальную энергию положения, зависящую исключительно от расположения тел, Q – внутреннюю молекулярную энергию в тепловой, химической или электрической форме.
Все шло бы хорошо, если бы эти три члена можно было резко различить: если бы Т было пропорционально квадратам скоростей, U не зависело ни от скоростей, ни от состояния тела, Q зависело не от скоростей и расположения тел, а исключительно от их внутреннего состояния. Тогда выражение энергии допускало бы только единственное разложение на три члена указанной формы. На самом деле это не так; рассмотрим наэлектризованные тела: электростатическая энергия, обусловленная их взаимодействием, будет, очевидно, зависеть от их заряда, т. е. от их состояния, но также и от их расположения. Если эти тела находятся в движении, то они будут действовать друг на друга электродинамически, и электродинамическая энергия будет зависеть не только от их состояния и их расположения, но и от их скоростей. Таким образом, у нас не оказывается никакого средства выделить три подразделения энергии, рассортировав члены так, чтобы каждый относился к T, U и Q в отдельности.
Если Т + U + Q есть постоянная величина, то постоянной будет и любая ее функция
(T + U + Q).
Если бы Т + U + Q имело вышеуказанную специальную форму, неопределенности не могло бы возникнуть; между всеми функциями (T + U + Q), сохраняющими постоянную величину, нашлась бы только одна, имеющая этот частный вид, и она была бы тем, что мы условились называть энергией. Но это, по вышесказанному, не выполняется: между функциями, сохраняющими неизменную величину, нет таких, которые бы в точности подходили под нашу специальную форму, – следовательно, как найти между ними ту, которую следует именовать энергией? У нас нет никакой путеводной нити для этих поисков.
Поэтому нам остается выразить принцип сохранения энергии только таким образом: есть нечто, сохраняющее неизменную величину. Но в такой форме он оказывается вне пределов досягаемости опыта и сводится к некоторого рода тавтологии, ибо ясно, что если мир управляется законами, то существуют некоторые величины, которые остаются постоянными. Подобно принципам Ньютона (и по тем же основаниям), принцип сохранения энергии, основанный на опыте, не может быть опровергнут этим последним.
Это исследование показывает, что с переходом от классической системы к системе энергетической осуществляется известный прогресс, но что в то же время этот прогресс недостаточен.
Еще более серьезным кажется мне другое возражение: принцип наименьшего действия приложим к обратимым процессам; но он оказывается совершенно недостаточным, коль скоро речь идет о необратимых процессах. Попытка Гельмгольца распространить его на эту область явлений не имела и не могла иметь успеха: здесь все еще принадлежит будущему.