Теоретическая география. Грядущая катастрофа.

Вотяков Алексей Анатольевич

Нужного вида складки возникают на поверхности металла, когда его пытаются сломать. Возьмите к примеру обычный гвоздь и начните его сгибать-разгибать в одном и том же месте. Через какое-то время на его поверхности появятся складки и вскоре он сломается, так как одно из образовавшихся ущелий распространится по всему сечению гвоздя.

Итак, мы нащупали основную модель геомеханики: горные хребты — это следствие бессмысленного закачивания огромных порций механической энергии, вызывающей сильное внутреннее напряжение земной коры. Порождаемые этими напряжениями усталостные деформации приводят к образованию горных хребтов, располагающихся в основном параллельно "линии сгибания".

Если бы земная кора была идеально однородной,

то остаточные напряжения формировали бы чисто фрактальные системы горных хребтов, как результат игры "великого господина случая". Но поверхностные области земной коры имеют явно выраженную слоистость — результат накопления осадков и жизнедеятельности микроорганизмов, поэтому при несомненной фрактальности в малых окрестностях, структура хребтов частично упорядочивается, как бы учитывая особенности залегания более древних слоёв.

Кривизна литосферы.

Воспользуемся упрощённой моделью земной поверхности, согласно которой Земля имеет вид сплюснутого эллипсоида

(x/R_e)² + (y/R_e)² + (z/R_p)² = 1.

Кривизна гладкой трёхмерной поверхности выражается через кривизну линии. Нас будет далее интересовать только тот случай, когда линия задана параметрически x = (t); y = (t). В этом случае кривизна линии вычисляется по формуле

k = 1/R = (x'y'' - y'x'')/(x'² + y'²)^3/2.

Гениальный математик всех времён и народов Леонард Эйлер показал, что нормальная кривизна линии, проходящей через точку поверхности зависит от её направления; существуют два перпендикулярных направления, называемых главными, характеризующиеся двумя экстремальными значениями кривизны: максимальным и минимальным, называемые главными. Нормальная кривизна произвольной линии, проходящей по поверхности удовлетворяет уравнению Эйлера

k = k₁cos² + k₂sin² ,

где — угол, образуемый линией с главным направлением для кривизны k₁.

Ввиду симметрии эллипсоида вращения (он переходит сам в себя при отражении зеркале, когда плоскость зеркала проходит через ось вращения) одно из главных направлений проходит в направлении меридиана, следовательно, другое проходит перпендикулярно ему. Теперь мы можем вычислить кривизну литосферы в любой её точке. Полагая у = 0, получаем эллипс, проходящий в меридианальном направлении

x = R_esin,

z = Rcos.

Пользуясь формулой

для вычисления кривизны, получаем

R₁ = (R_e²sin² + R^p2cos²)^3/2/R_pR_e.

Эта формула небезынтересна. До этого мы, не задумываясь, полагали, что R_p — это радиус кривизны Земли в районе полюса, но в действительности это не так; R_p = 6356863 метров — это всего только расстояние от полюса до центра Земли, тогда как радиус кривизны следует вычислить, полагая в R₁ величину = 90°

R₁(90°)= (R_e)²/R_p = 6399699 метров,

соответственно, на экваторе

R₁(0°)= (R_p)²/R_e = 6335552 метров.

Для вычисления второго радиуса кривизны нам следует рассмотреть эллипсоид, возникающий при пересечении поверхности Земли плоскостью, проходящей перпендикулярно Гринвичскому меридиану, но для упрощения выкладок мы заменим её на ближайшую к ней плоскость, проходящую через центр Земли. Получающийся в этом случае эллипс

y = R_esin,

z = Rcos,

где R² = (R_esin)² + (R_pcos)², подобен тому, который мы только что рассматривали (в новом эллипсе R играет роль R_p, а — играет роль ), благодаря этому мы можем записать

R₂ = (R_e²sin² + R²cos²)^3/2/RR_e.

Нас будет далее интересовать только один радиус кривизны на этом эллипсе — R₂(0), который является фактически вторым главным радиусом R₂

R₂= (R)²/R_e.