Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике
Шрифт:
Табличка Плимптон 322.
В чем же загадка этой таблички? На ней в четыре столбца нанесены числа, записанные в системе счисления, которая отличается от нашей и имеет основание 60. Считается, что эта система, называемая шестидесятеричной, появилась в культуре шумеров в третьем тысячелетии до нашей эры и
Почему же шумеры использовали шестидесятеричную систему счисления? Число 60 не перестает удивлять нас своими замечательными свойствами. Одно из самых заметных его свойств — это большое количество делителей. Оно без остатка делится на двенадцать чисел: 1, 2, 3, 4, 3, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Ни одно из чисел, меньших 60, не имеет столько делителей. Это свойство особенно удобно при работе с дробями, так как вычисления заметно упрощаются. В то время не существовало вычислительных машин, и все, что могло упростить вычисления, было как нельзя кстати.
Многие математики считают, что удивительных свойств числа 60 достаточно, чтобы понять, почему же древние шумеры использовали шести десятеричную систему счисления.
Число 60 также тесно связано с простыми числами. Начнем с того, что оно находится между двумя простыми числами-близнецами (59 и 61) и является суммой двух простых чисел-близнецов (29 + 31). Его также можно представить в виде суммы четырех последовательных простых чисел (11 + 13 + 17 + 19).
Возможно, удивительнее всего то, что 60 — наименьшее число, которое можно получить в виде суммы двух простых чисел шестью разными способами. Это показано в таблице ниже.
Уже в IV веке Теон Александрийский предположил, что число 60 было выбрано как основание системы счисления потому, что это наименьшее число, которое делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Развивая эту мысль, математик Дж. Г. ван дер Галиен показал, что если n — целое положительное число, делители которого, меньшие n, являются последовательными числами, то n либо простое, либо удвоенное простое число, либо одно из чисел 1, 8, 12, 24, 60. Значит, 60 — наибольшее составное число, первые делители которого, не превышающие n, являются последовательными.
* * *
СВЕРХСОСТАВНЫЕ ЧИСЛА
Натуральные числа, имеющие больше делителей, чем любое предшествующее им натуральное число, называются сверхсоставными. Найти первые сверхсоставные числа очень просто, что показано в таблице. Однако до сих пор не найдена формула, позволяющая найти все подобные числа.
* * *
Однако этот и другие ответы не удовлетворяют некоторых исследователей. Существуют археологические находки, подтверждающие, что около 3500 года до н. э. шумеры использовали десятичную систему мер, и точно неизвестно, как и почему они перешли к шестидесятеричной системе счисления. В связи с этим важно отметить различие между системой счисления и системой мер. Система счисления используется для подсчета, сложения, вычитания и других арифметических действий. Система мер используется для измерения длин, площадей, объемов, углов, весов и даже времени. Хотя обе системы, как правило, совпадают, это не обязательно должно быть именно так. Мы сами используем десятичную систему счисления, которая сосуществует с шестидесятеричной системой измерения времени.
Австрийский исследователь Отто Нойгебауэр в начале XX века предположил, что в культуре шумеров после десятичной системы мер использовалась шестидесятеричная, свидетельств чему не сохранилось. Возможно также, что обе системы использовались одновременно. Нойгебауэр выдвинул версию, что исходная десятичная система мер была заменена системой с основанием 60, чтобы делить меры и веса на три части. Нам достоверно известно, что в системе мер и весов, которую использовали шумеры, в качестве основных дробей использовались 1/3 и 2/3. Однако это не объясняет, почему шестидесятеричная система не использовалась с самого начала.
Объединение народов, смешение систем
Другие исследователи, в частности, Г. Кевич, предполагают, что шумерская цивилизация могла возникнуть после объединения двух народов, один из которых использовал систему счисления по основанию 12, другой — систему по основанию 5. Хотя система счисления по основанию 5 была распространена не так широко, как десятичная, они могут иметь одинаковое происхождение, связанное с подсчетом на пальцах: в пятеричной системе использовались пальцы одной руки, в десятичной — пальцы обеих рук. Следуя этой теории, при слиянии народов система по основанию 60 возникла естественным образом, в ходе торговли.
Однако у этой теории есть два важных недостатка. Несмотря на то что имеются доказательства использования десятичной системы на этой территории, нет никаких археологических находок, которые подтверждали бы использование системы по основанию 5. Чтобы устранить этот недостаток, можно предложить альтернативную теорию. Допустим, что незадолго до 3500 года до н. э. одна народность использовала двенадцатеричную систему мер и объединилась с другой шумерской народностью, которая в то время применяла десятичную систему. Логично предположить, что постепенно была установлена общая система, чтобы упростить расчеты. Идеальной системой была бы та, основание которой было бы наименьшим общим кратным 10 и 12, чтобы можно было легко пересчитывать числа из одной системы в другую. Таким числом является 60.
Однако здесь становится очевиден второй недостаток нашей теории, так как не существует доказательств, что какая-либо народность использовала систему счисления по основанию 12. Дав волю воображению, мы можем предположить, что 12 — число полнолуний в солнечном году, и до сегодняшнего дня многие единицы измерения связаны с числом 12: например, в британской системе мер фут состоял из 12 дюймов, шиллинг был равен 12 пенсам, а 1 фунт — 12 унциям. Более того, в Европе до сих пор продают яйца дюжинами! Двенадцать дюжин составляют так называемый гросс (эта мера счета применялась при счете мелких галантерейных предметов), и это доказывает, что здесь используется система счисления по основанию 12. Кроме того, 12 является сверхсоставным числом. Но для подтверждения наших теорий нужны археологические находки, которые до сих пор не обнаружены.