Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
dx
d1
=
1
1^2-a
x
.
(3)
Если ds1– длина участка кривой пересечения поверхностей 2 и 3, отсекаемого поверхностями 1 и 1+d1, то
ds1
d1
^2
=
dx
d1
^2
+
dy
d1
^2
+
dz
d1
^2
=
=
1^2(2^2-1^2)(3^2-1^2)
(1^2-a^2)(1^2-b^2)(1^2-c^2)
.
(4)
Знаменатель
Обозначим
D
1
^2
=
3
^2
–
2
^2
,
D
2
^2
=
3
^2
–
1
^2
,
D
3
^2
=
2
^2
–
1
^2
(5)
и положим a=0. Тогда
ds1
d1
=
D2D3
b^2-1^2c^2-1^2
.
(6)
Легко видеть, что D2 и D3– полуоси центрального сечения поверхности 1, сопряжённого диаметру, проходящему через данную точку, и что полуось D3 параллельна ds2, а D2 параллельна ds3.
Если, кроме того, мы выразим три параметра 1, 2, 3 через три функции , , , определяемые уравнениями
=
1
0
cd1
(b^2-1^2)(c^2-1^2)
,
=
2
b
cd2
(2^2-b^2)(c^2-2^2)
,
=
3
c
cd3
(3^2-b^2)(3^2-c^2)
,
(7)
то получим
ds
1
=
1
c
D
2
D
3
d
,
ds
2
=
1
c
D
3
D
1
d
,
ds
3
=
1
c
D
1
D
2
d
.
(8)
148.
R
1
=
–
dV
ds1
=
–
dV
d
d
ds1
=
–
dV
d
c
D2D3
.
(9)
Поскольку ds1, ds2, ds3 взаимно перпендикулярны, поверхностный интеграл по элементу площади ds2ds3 равен
R
1
ds
2
ds
3
=
–
ds
d1
dV
d
D3D1
c
D1D2
c
d
d
=
=
–
dV
d
D1^2
c
d
d
.
(10)
Рассмотрим теперь элемент объёма, заключённый между поверхностями , , и +d, +d, +d. Таких элементов будет восемь, по одному в каждом октанте пространства.
Мы нашли поверхностный интеграл от нормальной составляющей силы (отсчитываемой внутрь) для элемента поверхности, отсекаемого на поверхности поверхностями и +d, и +d.
Поверхностный интеграл для соответствующего элемента поверхности +d равен
+
dV
d
D1^2
c
d
d
+
d^2V
d^2
D1^2
c
d
d
d
,
поскольку D1 не зависит от Поверхностный интеграл по обеим противоположным граням элемента объёма будет равен сумме этих выражений, т. е.
d^2V
d^2
D1^2
c
d
d
d
.
Точно так же поверхностные интегралы по двум другим парам граней равны
d^2V
d^2
D2^2
c
d
d
d
и
d^2V
d^2
D3^2
c
d
d
d
Эти шесть граней ограничивают элемент объёмом