Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

Коллектив авторов

«АФИНСКАЯ ШКОЛА»

Рафаэль написал «Афинскую школу» в 1509 году по заказу папы Юлия II. На картине символически изображена философия, одна из четырех классических дисциплин, вместе с теологией, правом и медициной. Художник собрал всех персонажей, считавшихся в Средневековье отцами философии, но вдохновлялся знаменитостями своего времени: так, прообразом Платона послужил Леонардо да Винчи, а Гераклита — Микеланджело.

Список

персонажей.

1. Зенон Элейский. 2. Эпикур. 3. Федерико II Гонзага. 4. Боэций или Анаксимандр или Эмпедокл. 5. Аверроэс. 6. Пифагор. 7. Алкивиад или Александр Македонский. 8. Антисфен или Ксенофонт. 9. Гипатия (Маргерита) или Франческо Мария делла Ровере. 10. Эсхин или Ксенофонт. 11. Парменид. 12. Сократ. 13. Гераклит (Микеланджело). 14. Платон (с «Тимеем», Леонардо да Винчи). 15. Аристотель (с «Этикой»). 16. Диоген Синопский. 17. Плотин. 18. Евклид или Архимед (Браманте). 19. Страбон или Заратустра. 20. Клавдий Птолемей. 21. Протоген. 22. Апеллес (Рафаэль).

Платон резюмирует сущность математического знания в своем седьмом письме:

«Чтобы достигнуть познания всего сущего, необходимо пройти три ступени; четвертая и есть само знание, а за пятую надо принять познаваемый предмет, существующий на самом деле. Первая ступень — имя, вторая — определение, третья — изображение, четвертая — знание».

Затем он подробно описывает каждую ступень по отдельности: определяющее название — definiens (например, «круг»), definiendum (определение), рисунок («его можно нарисовать и стереть») и настоящее мнение, то есть представление о совокупности его характеристик, в случае математики — соответствующие теоремы.

Аристотель же во «Второй аналитике» пишет, что доказательные науки сочетают в себе два аспекта: касающийся значения, то есть терминов, и касающийся существования, то есть предметов. Второе различие пересекается с предыдущим: необходимо отличать первичные термины и предметы от производных терминов и предметов (или свойств). Высказывания, в которых устанавливается значение или факт существования, являются тезисами; в частности, значение устанавливается в определениях, а существования — в гипотезах. Определения «ничего не говорят о существовании определенного предмета», они отвечают на вопрос: «Что это?», а не на «Существует ли?». Гипотезы, в свою очередь, делятся на общие понятия, в которых ум не может сомневаться (настолько они убедительны по своему существу), и на постулаты, не настолько очевидные и предполагающие существование некоторых сущностей. Общие понятия часто называют аксиомами. Современные математики не видят существенной разницы между ними и постулатами. Среди математических объектов есть «первичные», например величина в арифметике или в геометрии, существование которой «дано». Существование же всех остальных объектов необходимо установить. Предложения и теоремы описывают существующие объекты: «Если объекта не существует, высказывание ложно». Вопрос о существовании имеет основополагающее значение. Это не существование идей, предшествующих всему, как у Платона, а существование на основании аксиомы или доказательства, ведущего к ней.

Во «Второй аналитике» Аристотель пишет:

«Предположения — это суждения, при наличии которых получается заключение благодаря тому, что они есть. И геометр не предполагает нечто ложное, как это утверждали некоторые, указывая, что не следует пользоваться ложными положениями, а геометр как раз и допускает ложное, когда про линию, не имеющую в длину фута, говорит, что она имеет эту длину, или про начерченную линию, не являющуюся прямой, говорит, что она прямая. Однако геометр ничего не выводит на основании того, что линия такая, какой он сам ее назвал, но выводит посредством того, что он этим имел в виду. Далее, всякий постулат и всякое предположение берется или как нечто целое, или как часть; определения же — ни как то, ни как другое».

Аристотель установил

метод построения научного рассуждения. Он кажется похожим на метод Платона, но это не так: Аристотель не делает различия между истинностью постулатов и истинностью, которая находится за пределами возможного познания. Есть истины, которые просто фиксируют факт существования и общие понятия с более широкой областью применения. Цепь рассуждений, подобно цепочке силлогизмов, идет от само собой разумеющейся истины к истине, доказываемой в теореме: у истины общих понятий и у истины теорем одна и та же природа. Однако Аристотелю требуются определения, в чем его мысль (ученика) опять расходится с представлениями Платона (учителя): необходимые и достаточные условия тесно связаны с терминами, применяемыми в определениях, и делают их правильными.

Философию науки — в частности, математики — Аристотеля можно представить в виде схемы.

СОДЕРЖАНИЕ «НАЧАЛ»

Принято считать, что Евклид написал 13 книг с общим названием «Начала». Они изложены на койне с использованием символов, обозначающих геометрические понятия, в частности точки, величины и числа. Впоследствии к ним были добавлены еще две книги: книга XIV Гипсикла (ок. 190-120 до н.э.) и XV — неизвестного автора, возможно Исидора Милетского. Первое из более тысячи изданий «Начал» было сделано Эрхардом Ратдольтом (1442-1528) в Венеции в 1482 году, почти через 30 лет после публикации Библии Гуттенберга. Эрхард напечатал вариант с комментариями итальянского ученого Джованни Кампано (1220-1296), который, в свою очередь, опирался на перевод, сделанный английским монахом Аделярдом Батским (ок. 1080-1160). В первых четырех книгах не упоминается теория отношений. Они посвящены планиметрии, а не дидактике, и тем не менее сильно различаются.

— Книга I считается основной. В ней содержатся 23 определения, пять постулатов и пять общих понятий. Главная тема книги — теория треугольников. Представлены основы техники танграма для доказательств и построений с линейкой и циркулем. В конце книги — определение прямоугольных треугольников как таких, которые попадают под теорему Пифагора. Показаны дедуктивные возможности метода доведения до абсурда.

— Книга II содержит геометрическую алгебру, точнее элементарные алгебраические преобразования вида (х ± у)^2 = х^2 + у^2 ± 2ху, х^2 - у^2 = (х + у)(х — у) и их производные, но не с числами, а с размерами (отрезками), требующими построения; геометрическое решение линейных уравнений второго уровня из «Данных»; построение золотого сечения и теорема косинусов, обобщение теоремы Пифагора для непрямоугольных треугольников (остроугольных и тупоугольных). В книге есть два определения, а в заключении — предложение 14, недостающее звено для квадратуры многосторонних фигур.

— Книга III: геометрия окружности; И определений.

— Книга IV: построение правильных многоугольников при помощи линейки и циркуля: равностороннего треугольника (а также в первом предложении книги I), квадрата (предложения 6 и 7), пятиугольника (предложение И), шестиугольника (предложение 15) и 15-угольника (предложение 16). Содержит семь определений.

Авторство книг V и VI приписывается Евдоксу Книдскому. Эти тома легли в основу теоремы Фалеса для прямых и площадей многосторонних фигур и для вычисления площадей и объемов.

— Книга V имеет важнейшее значение для понимания древнегреческой геометрии в период Академии. Содержит 18 определений, среди которых особенно выделяются определения соотношения и пропорции. Устанавливает, для каких величин верна теория отношений.

— Книга VI содержит теоремы Фалеса, то есть теоремы о катетах прямоугольного треугольника, из которых выводится теорема Пифагора. Это очень важная книга. Одно из четырех ее определений, вероятно, не принадлежит Евклиду.

Книги VII, VIII и IX относят к пифагорейской школе, хотя есть и другие мнения. В этих книгах содержатся начала арифметики на основе теории частей или рациональных чисел.