Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

Коллектив авторов

— В книге VII определяется, что единица не является числом: согласно этой концепции «все, что есть, есть единица»; даются определения части и простого числа, основы деления, алгоритм и лемма Евклида. В книге 22 определения, последнее из которых — определение совершенного числа. Эти определения используются во всех трех книгах, посвященных арифметике.

— Книга VIII посвящена изучению непрерывных пропорций натуральных чисел — геометрических прогрессий со знаменателем 2.

— Книга IX содержит важную теорему о существовании бесконечного числа простых чисел, необходимую (и, возможно, достаточную) для установления основной теоремы арифметики.

—

В книге X встречаются отсылки к Феодору и Теэтету. В ней рассматривается несоизмеримость и приводится классификация иррациональных линий. Это самая длинная, самая техническая и устаревшая из всех книг Евклида. Содержит 16 определений, не все из которых принадлежат Евклиду, и фигуры, используемые для построения Платоновых тел в книге XIII.

— В книге XII описывается метод исчерпывания. Это название было в свое время предметом споров, но в итоге осталось в веках. С его помощью вычисляется площадь круга и объемы пирамиды, конуса и шара. Это сложная книга; труднейшие задачи, изложенные в ней, решил только гениальный Архимед. Ее основное содержание приписывается Евдоксу.

— В книге XIII описывается построение пяти Платоновых тел — тетраэдра, гексаэдра (или куба), октаэдра, додекаэдра и икосаэдра — и доказывается, что существуют только они. Октаэдр и икосаэдр, построение которых, видимо, не рассматривалось пифагорейской школой, были построены Теэтетом в Академии.

Математика как наука началась, когда некто, возможно какой-то грек, сформулировал предложения о чем-то, не описывая никаких особенностей этого нечто.

Альфред Норт Уайтхэд (1861-1947)

Всего в 13 книгах Евклида содержится 140 основных положений (130 определений, пять постулатов и пять общих понятий) и 465 вытекающих из них предложений (93 задачи и 372 теоремы), а также 19 поризмов и 16 лемм.

Книга XIV была написана Гипсиклом Александрийским во II веке до н. э. Самые важные ее результаты — установление соотношений между площадями и объемами Платоновых тел.

Авторство небольшой книги XV предположительно принадлежит Исидору Милетскому, составившему ее в VI веке. В ней рассматривается вписывание некоторых правильных многоугольников в другие.

Предложения одной книги часто зависят от предложений предыдущих (см. таблицу ниже). Книги VII, VIII и IX не зависят от других, поскольку при их чтении можно обойтись без остальных частей, введя нужные определения.

Остальные же построены вокруг двух концептуальных основ: книги I и книги V. Можно сказать, что в них собраны достижения, предшествовавшие Академии и последовавшие за ней. Книги с X по XIII сильно связаны с обоими источниками.

Книга I

Самостоятельная

Книга II

Опирается на книгу I

Книга III

Опирается на книгу I, а также на предложения 5 и 6 книги II

Книга IV

Опирается на книгу I, на предложение II книги II и на книгу III

Книга V

Самостоятельная

Книга VI

Опирается на предложения 27 и 31 книги III, а также на книги I и V

Книга VII

Самостоятельная

Книга VIII

Опирается

на определения из книгУ и VII

Книга IX

Опирается на предложения 3 и 4 из книги II, а также на книги VII и VIII

Книга X

Опирается на предложения 44 и 47 из книги I, на книгу II, на предложение 31 из книги III, на книги V и VI, на предложения 4, 11, 26 из книги VII, на предложения 1, 24, 26 из книги IX

КнигаХI

Опирается на книгу I, на предложение 31 из книги III, на предложение 1 из книги IV, на книги V и VI

Книга XII

Опирается на книги I и III, на предложения 6 и 7 из книги IV, на книги V и VI, на предложение 1 из книги X и на книгу XI

Книга XIII

Опирается на книгу I, на предложение 4 из книги II, на книги III, IV, V, VI, X и XI

Взаимосвязь разных книг «Начал».

НАЧАЛА ДО «НАЧАЛ»

Необходимо уточнить, что имеется в виду под «элементом» в геометрии[¹ Сочинение Евклида традиционно называется «Начала», но на древнегреческом это слово также имеет значение «элемент». — Примеч. перев.]. Аристотель в «Топике» говорит: «В геометрии необходимо оперировать элементами»; а Прокл в своем комментарии пишет:

«Если геометрия располагает некоторыми элементами, то можно будет понять все остальные науки, без них же невозможно охватить все ее разнообразие, и другие науки будут недосягаемы».

Прокл также описывает различные значения этого термина. По мнению Гиппократа Хиосского, элемент — это положение, имеющее фундаментальную важность для получения и дедуктивной организации других результатов; Менехм рассматривал элемент в двух значениях: «слабом», когда он имеет вид предыдущей леммы (например, предложение 1 из книги I по отношению к предложению 2 той же книги), и «сильном», когда он имеет вид определения, общего понятия и постулата. Сочинение Евклида может именоваться «Элементы» («Начала») именно в «сильном» значении слова, хотя в нем встречаются элементы и в «слабом» значении, так как, определив основные принципы, он придает своему труду дедуктивную структуру и, следовательно, большую дидактическую ценность. Поэтому в «Началах» содержатся не все известные на тот момент геометрические результаты, а только те, которые могут служить основой последующих рассуждений. В этом смысле «Начала» превосходят другие предшествующие ему сочинения с таким же названием. Такие мыслители, как Архимед, Аполлоний, Эратосфен, Птолемей, Папп, Прокл, используют этот труд как главный свод начальных знаний для изучения математики.

Как мы уже сказали, структура «Начал» соответствует духу Аристотеля. Напомним, что общие понятия (см. таблицу) — это само собой разумеющиеся истины. Мы сконцентрируемся на пяти из них и затронем шестое. В общих понятиях говорится об отношениях равенства или неравенства количественного типа, что подходит для геометрических величин, натуральных чисел и пропорций. Таким образом, их область применения очень широка, и с точки зрения методологии «Начал» они имеют первоочередное значение.

Общие понятия