Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума
Шрифт:

В основе этих рассуждений лежит труд тысячелетней давности, книга, превосходная как по форме, так и по содержанию, — «Начала» Евклида. Из основных утверждений, считающихся истинными (постулатов), выводятся новые, не столь очевидные утверждения (теоремы), которые, в свою очередь, могут служить основой других, еще менее очевидных. Совокупность полученных таким образом умозаключений составляет основу геометрии, правильность которой гарантируется законами логики. Все результаты получены не по прихоти их автора, а с помощью логических рассуждений, основанных на первоначальных постулатах.

До недавнего времени «Начала» Евклида служили моделью преподавания математики. Именно поэтому в соответствии с наиболее распространенной концепцией математика представляет собой идеально точную

совокупность корректных умозаключений, связанных между собой неизменной последовательностью «аксиома — теорема — доказательство — следствие — упражнение». Такой была математика, так она преподавалась, так она изучалась и воспринималась.

Тем не менее можете ли вы поверить, что Евклид был настолько гениален, что создал «Начала» сразу, целиком, после того как определил постулаты геометрии?

* * *

ЕВКЛИД И ЕГО МЕТОД

О создателе крупнейшей математической парадигмы известно немногое. Он жил около 300 года до н. э. и учился в Александрии. Самой известной его работой, несомненно, являются «Начала», состоящие из тринадцати книг и содержащие более 400 утверждений, выведенных из пяти постулатов, пяти общих утверждений, или аксиом, и 132 определений. Ниже приведены примеры постулатов, аксиом и определений.

Определение 1: Точка есть то, что не имеет частей.

Определение 2: Линия же — длина без ширины.

Определение 3: Края же линии — точки.

Постулат 1: От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

Постулат 2: Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

Постулат 3: Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.

Аксиома 2: И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны [1] .

1

Перевод с греч. Д. Д. Мордухай-Болтовского. — Примеч. ред.

Папирус с фрагментом предложения № 5 из книги II «Начал».

* * *

Неужели в его рассуждениях не было ни единой ошибки? Зачем ему потребовалось сопровождать свои рассуждения рисунками? Не описывают ли эти рисунки ситуации, не рассмотренные в постулатах? И действительно, уже в первой теореме Евклид считает истинным, что две дуги окружности пересекаются в точке, однако в каком из исходных постулатов это утверждается? Можно ли утверждать, что линии являются непрерывными? Не появятся ли на них промежутки, если мы рассмотрим их под микроскопом? С другой стороны, что именно рассматривал Евклид — отрезки или прямые?

Отрезки, прямые, треугольники, квадраты, круги… В математике царят столь совершенные фигуры, что, кажется, они не могут быть созданы человеком, а являются божественным творением либо существуют сами по себе, в идеальном и безупречном мире. Эту точку зрения, в которой явно прослеживается влияние идей Платона, разделяют практически все математики начиная с античных времен. Те же, кто считает иначе, пришли к своим убеждениям после длительных размышлений о сущности математики. Пифагорейцы полагали, что соотношениями чисел описаны законы всего сущего. Если совершенство было приближено к числу, то число было приближено к Богу. Круг — идеальная сущность, о свойствах которой говорят, что они «открыты». Можно сказать, что существует в некотором роде

единый образ этой геометрической фигуры, общий для всех, и когда мы рассматриваем окружность, то открываем ее свойства и отношения с другими идеальными фигурами. Таково традиционное представление о математическом открытии, которое впоследствии было поставлено под сомнение.

Можно ли творить без помощи логики?

Логика — обязательный элемент математики. Именно логика — залог корректности математических выводов, строгий судья, определяющий их истинность или ложность. Однако математику нельзя свести исключительно к логике. Если бы теоремы можно было вывести с помощью формальных логических правил, с этой задачей вполне справился бы компьютер, выдав нам множество новых теорем. К сожалению, математики обычно публикуют окончательные и проверенные результаты своего труда, не позволяя нам увидеть путь, которым они шли.

Должно пройти много времени, прежде чем этот порядок вещей изменится. Математические блюда по-прежнему подаются на роскошной посуде и не содержат ни малейших изъянов. Мудрец-повар пробует свое блюдо снова и снова, пока не решит, что оно готово и его можно подавать. Он ищет ошибки и исправляет их, если находит. Если же в рецепт закралась неустранимая ошибка, такое блюдо немедленно отвергается и возвращается на кухню — именно там, а не в зале ресторана, вершится математика. Именно там готовятся аксиомы, теоремы и доказательства. Именно там совершаются ошибки, проверяются гипотезы и отвергаются идеи. Фартуки поваров покрываются грязными пятнами, а сами повара впадают в отчаяние, оттого что логика не идет на поводу у их интуиции. И тогда они тысячу раз проклинают свое ремесло, которое многие считают божественным.

Однако математическую кухню питает не только огонь логики: на ней не обойтись без интуиции, аналогий, экспериментов, гипотез, то есть без мысли. Так как все люди мыслят по-разному или руководствуются разными интересами, на размышления математиков и их деятельность влияют общество и культура. Почему одна теорема более ценна, чем другая? Почему все пытаются доказать одни теоремы и не уделяют внимания другим? С помощью логики можно сделать бесконечное множество тривиальных умозаключений, которые не представляют никакой ценности. Развитие математической мысли вызвано интересом людей к решению задач, теоретических и практических, полезных и бесполезных, а сами задачи могут отражать стремление к знаниям или рассматриваться как личный вызов.

Полнее и точнее всего этот аспект математики описан в классических научно-популярных книгах, в частности «Что такое математика?» американских авторов Рихарда Куранта и Герберта Роббинса (первое издание вышло в 1941 году, с тех пор книга неоднократно переиздавалась), в более поздней книге «Математический опыт» Филипа Дэвиса и Рубена Херша (1999) или в книге последнего «Что же такое математика на самом деле?» (1997). В этой книге Херш приводит простой и понятный пример: «Формулу 2 + 2 = 4 можно доказать как теорему в некоторой модели аксиом, однако ее сила и убедительность происходят из физической модели — например, ее правильность нетрудно подтвердить с помощью монет или камней». Более того, логика, используемая в формальном доказательстве, которое упоминает Херш, появилась значительно позже, чем подсчет камней. Курант и Роббинс, в свою очередь, подчеркивают важнейшую роль, которую играют в развитии математики эксперимент, интуиция и аналогия:

«…хотя принципа математической индукции совершенно достаточно для того, чтобы доказать эту формулу — раз она уже написана, однако доказательство не дает решительно никаких указаний, как прийти к самой этой формуле… Тот факт, что доказательство теоремы заключается в применении таких-то простых логических правил, не оказывает ни малейшего влияния на творческое начало в математике, роль которого — делать выбор из бесконечного множества появляющихся возможностей. Вопрос о том, как возникает гипотеза, — из той области, в которой нет никаких общих правил; здесь делают свое дело эксперимент, аналогия, конструктивная индукция».

Поделиться:
Популярные книги

Черный дембель. Часть 4

Федин Андрей Анатольевич
4. Черный дембель
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Черный дембель. Часть 4

Граф Суворов 8

Шаман Иван
8. Граф Суворов
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Граф Суворов 8

Имперец. Том 1 и Том 2

Романов Михаил Яковлевич
1. Имперец
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Имперец. Том 1 и Том 2

Чехов

Гоблин (MeXXanik)
1. Адвокат Чехов
Фантастика:
фэнтези
боевая фантастика
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Чехов

Путь молодого бога

Рус Дмитрий
8. Играть, чтобы жить
Фантастика:
фэнтези
7.70
рейтинг книги
Путь молодого бога

Хозяин Теней 3

Петров Максим Николаевич
3. Безбожник
Фантастика:
попаданцы
аниме
фэнтези
фантастика: прочее
5.00
рейтинг книги
Хозяин Теней 3

Князь Мещерский

Дроздов Анатолий Федорович
3. Зауряд-врач
Фантастика:
альтернативная история
8.35
рейтинг книги
Князь Мещерский

Венецианский купец

Распопов Дмитрий Викторович
1. Венецианский купец
Фантастика:
фэнтези
героическая фантастика
альтернативная история
7.31
рейтинг книги
Венецианский купец

Начальник милиции. Книга 3

Дамиров Рафаэль
3. Начальник милиции
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Начальник милиции. Книга 3

Аристократ из прошлого тысячелетия

Еслер Андрей
3. Соприкосновение миров
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Аристократ из прошлого тысячелетия

Взводный

Берг Александр Анатольевич
5. Антиблицкриг
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Взводный

Проданная невеста

Wolf Lita
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.80
рейтинг книги
Проданная невеста

Адаптация

Уленгов Юрий
2. Гардемарин ее величества
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Адаптация

Я — Легион

Злобин Михаил
3. О чем молчат могилы
Фантастика:
боевая фантастика
7.88
рейтинг книги
Я — Легион