Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

Альберти Микель

Творчество и обучение математике

Суть обучения математике в духе конструктивизма — показать, что мы можем решать задачи, используя уже известную информацию и, при необходимости, прибегнув к некоторой помощи со стороны. По сути, мы учимся математике, создавая ее.

Да, полученные нами знания не будут открытием мирового масштаба, но действовать при этом мы будем точно так же, как и профессиональные математики. И уж конечно, мы заслуживаем того, чтобы чувствовать себя такими же счастливыми, как они.

Но хотя каждый человек способен создавать математику, сложность заключается в необходимости быть

внимательным. Учиться означает искать ответы, но чтобы искать ответы, нужны вопросы. Кто задает математические вопросы о том, что видит, слышит, делает или ощущает? Почти никто — в этом и заключается разница между математиками и всеми остальными. Однако постигнуть мир без помощи математики нельзя. Когда мы смотрим на него математическим взглядом, когда мы задаем вопросы и находим на них ответы, мы тоже учимся.

Нельзя определить, что происходит в мозгу в тот момент, когда в нем зарождается новая идея. Момент, когда мы испытываем счастливое озарение, всегда приходит неожиданно. Мы можем как-то повлиять лишь на два оставшихся этапа решения задачи.

Проверка полученного решения — достаточно рутинный процесс, в ходе которого мы подтверждаем, что результат, найденный в момент озарения, является правильным и удовлетворяет рассматриваемой задаче. Именно на этом этапе важнейшую роль играет логика: она позволяет с уверенностью сказать, что посетившее нас озарение привело к правильному решению.

Этап решения задачи, которому мы можем научиться, — это этап подготовки. В это время мы работаем осознанно и начинаем с формулировки и понимания сути проблемы. В идеале именно на этом этапе мы готовим почву для последующего озарения. Наш труд должен быть достаточно плодотворным, чтобы по прошествии некоторого времени состоялся акт творения. Но как именно нужно работать? Как подготовить почву для озарения?

Этапы творчества

Исследователи математики и науки в целом (Курант и Роббинс, 1996; Пойа, 1988; Дэвис и Херш, 1989; Лакатос, 1994) говорят об одних и тех же аспектах творчества: воображение, наблюдение, эксперимент, интуиция, аналогия, обобщение, рассуждение, стратегия, везение. Среди этих аспектов выделим шесть основных: наблюдение, интуиция, эксперимент, гипотеза, аналогия и подтверждение.

Далее мы попробуем рассмотреть простую задачу в этих аспектах и показать, как они помогают найти решение. Мы поговорим о квадратах натуральных чисел.

Наблюдение

Наблюдение зависит от наблюдателя. Наблюдая, мы можем распознать только то, что нам уже известно. Если мы хотим увидеть что-то неизвестное, нужно обращать внимание на все, что удивляет нас, и при этом два наблюдателя будут видеть одно и то же явление по-разному. Наблюдатель также обычно замечает изменения в привычной обстановке, но не может сказать, какие именно изменения произошли.

В любом случае и при любых обстоятельствах наблюдение — это не просто взгляд на вещи, это умственный процесс, итогом которого обычно является описание или объяснение увиденного.

В математике результатом наблюдений обычно являются закономерности. Какую закономерность можно увидеть, если взглянуть на квадраты первых натуральных чисел?

Взяв за основу ряд 1, 2, 3, 4, 5, …, мы создали ряд 1, 4, 9, 16, 23, … Какими особенностями обладает полученный ряд? Его члены не являются последовательными числами. Они кажутся случайными, однако были получены по определенному правилу.

Чтобы

лучше понять полученное, снова обратим внимание на исходный ряд.

Почему мы говорим, что числа 1, 2, 3, 4, 3… являются последовательными? Потому что разница между каждым числом и соседним с ним всегда равна 1. Перенесем это наблюдение на второй ряд. Чему равны разности между его соседними членами?

Эврика! Разности между квадратами чисел — это нечетные числа: 1, 3, 5, 7, 9.

* * *

НАБЛЮДЕНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ

Наблюдение закономерностей в числовых рядах порой оказывается рискованным. На вопрос о том, каким будет следующее число в ряду 1, 2, 3, 4, 5, можно дать несколько ответов:

• следующим будет 6, так как исходный ряд — это последовательность натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6…

• следующим будет 1, так как в этом ряду повторяются первые пять чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, …

• следующим будет 8, так как в этом ряду чередуются нечетные числа и степени двойки:

1, 2, 3, 4, 5, 8… = 1, 2¹, 3, 2², 5, 2³….

Словом, ответ на вопрос, как отмечал Витгенштейн, может быть любым, поскольку многоточия позволяют подставить на место следующего числа в ряду абсолютно любое число.

* * *

Интуиция

По результатам наблюдений можно интуитивно определить некое правило, которое можно будет подтвердить экспериментально.

Эксперимент

В число обязательных требований к эксперименту входят подконтрольность и воспроизводимость. В математике это легко исполнимо. Ничто не может помешать нам заново вычислить квадраты первых натуральных чисел.

Эксперимент подтверждает выявленную закономерность. Вычислив разницу между квадратами первых 13 натуральных чисел (включая 0), мы получили первые 12 нечетных чисел: 1, 3, 3, 7, 9, 11, 13, 13, 17, 19, 21, 23.

Гипотеза

Наша гипотеза заключается в том, что найденная закономерность выполняется для любой последовательности натуральных чисел. Здесь мы переходим от конечного к бесконечному, от частного к общему. Наша гипотеза будет формулироваться так:

Последовательностью разностей между квадратами натуральных чисел является последовательность нечетных чисел.

Но как мы можем подтвердить эту гипотезу? Невозможно ведь провести эксперимент на всем бесконечном множестве натуральных чисел.

Аналогия

С другой стороны, возникает вопрос: понимаем ли мы на самом деле природу наблюдаемого явления? Вычисления показывают, что результаты должны подчиняться некоторой закономерности. Но понимаем ли мы ее? Понимаем ли мы, почему разность между квадратами соседних чисел обязательно является нечетным числом?

Здесь мы не хотим подтвердить или доказать гипотезу — мы хотим понять ее. Числа и вычисления говорят с нами, но их язык — это язык логики. Мы принимаем результаты вычислений, однако, возможно, не до конца понимаем истинную причину того, почему результаты выглядят именно так, а не иначе.