Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
Шрифт:
Чтобы проиллюстрировать метод дифференциальных уравнений, предположим, что Ромео любит Джульетту74, но в нашей версии этой истории Джульетта — ветреная возлюбленная. Чем больше Ромео любит ее, тем сильнее она хочет от него спрятаться. Но когда Ромео охладевает к ней, он начинает казаться ей необыкновенно привлекательным. Однако юный влюбленный склонен отражать ее чувства: он пылает, когда она его любит, и остывает, когда она его ненавидит.
Что происходит с нашими несчастными влюбленными? Как любовь их поглощает и уходит с течением времени? Вот где дифференциальное исчисление приходит на помощь. Составив уравнения, обобщающие усиление и ослабление чувств Ромео и Джульетты, а затем решив их, мы сможем предсказать ход отношений этой пары. Окончательным прогнозом
Чтобы прийти к такому выводу, я предположил, что поведение Ромео может быть смоделировано с помощью дифференциального уравнения
которое описывает, как его любовь (R) изменяется в следующее мгновение (dt). Согласно этому уравнению, количество изменений (dR) прямо пропорционально (с коэффициентом пропорциональности a) любви Джульетты (J). Данная зависимость отражает то, что мы уже знаем: любовь Ромео усиливается, когда Джульетта любит его, но это также говорит о том, что любовь Ромео растет прямо пропорционально тому, насколько Джульетта его любит. Это предположение линейной зависимости эмоционально неправдоподобно, но оно позволяет значительно упростить решение уравнения.
Напротив, поведение Джульетты можно смоделировать с помощью уравнения
Отрицательный знак перед постоянной b отражает то, что ее любовь остывает, когда любовь Ромео усиливается.
Единственное, что еще осталось определить, — их изначальные чувства (то есть значения R и J в момент времени t = 0). После этого все необходимые параметры будут заданы. Мы можем использовать компьютер, чтобы медленно, шаг за шагом двигаться вперед, изменяя значения R и J в соответствии с описанными выше дифференциальными уравнениями. На самом деле с помощью основной теоремы интегрального исчисления мы можем найти решение аналитически. Поскольку модель простая, интегральное исчисление выдает пару исчерпывающих формул, которые говорят нам, сколько Ромео и Джульетта будут любить (или ненавидеть) друг друга в любой момент времени в будущем.
Представленные выше дифференциальные уравнения должны быть знакомы студентам-физикам: Ромео и Джульетта ведут себя как простые гармонические осцилляторы. Таким образом, модель предсказывает, что функции R(t) и J(t), описывающие изменение их отношений во времени, будут синусоидами, каждая из них возрастающая и убывающая, но максимальные значения у них не совпадают.
Модель можно сделать более реалистичной разными путями. Например, Ромео может реагировать не только на чувства Джульетты, но и на свои собственные. А вдруг он из тех парней, которые настолько боятся, что их бросят, что станет остужать свои чувства. Или относится к другому типу парней, которые обожают страдать — именно за это он ее и любит.
Добавьте к этим сценариям еще два варианта поведения Ромео: он отвечает на привязанность Джульетты либо усилением, либо ослаблением собственной привязанности — и увидите, что в любовных отношениях существуют четыре различных стиля поведения. Мои студенты и студенты группы Питера Кристофера из Вустерского
Хотя приведенные примеры фантастические, описывающие их типы уравнений весьма содержательны. Они представляют собой наиболее мощные инструменты из когда-либо созданных человечеством для осмысления материального мира. Сэр Исаак Ньютон использовал дифференциальные уравнения для открытия тайны движения планет. С помощью этих уравнений он объединил земные и небесные сферы, показав, что и к тем и к другим применимы одинаковые законы движения.
Спустя почти 350 лет после Ньютона человечество пришло к пониманию того, что законы физики всегда выражаются на языке дифференциальных уравнений. Это верно для уравнений, описывающих потоки тепла, воздуха и воды, для законов электричества и магнетизма, даже для атома, где царит квантовая механика.
Во всех случаях теоретическая физика должна найти правильные дифференциальные уравнения и решить их. Когда Ньютон обнаружил этот ключ к тайнам Вселенной и понял его великую значимость, он опубликовал его в виде латинской анаграммы. В вольном переводе она звучит так: «Полезно решать дифференциальные уравнения»75.
Глупая идея описать любовные отношения с помощью дифференциальных уравнений пришла мне в голову, когда я был влюблен в первый раз и пытался понять непонятное поведение моей девушки. Это был летний роман в конце второго курса колледжа. Я очень напоминал тогда первого Ромео, а она — первую Джульетту. Цикличность наших отношений сводила меня с ума, пока я не понял, что мы оба действовали по инерции, в соответствии с простым правилом «тяни-толкай». Но к концу лета мое уравнение начало разваливаться, и я был еще более озадачен. Оказалось, произошло важное событие, которое я не учел: ее бывший возлюбленный захотел ее вернуть.
В математике мы называем такую задачу задачей о трех телах. Она заведомо неразрешима, особенно в контексте астрономии, где впервые и возникла. После того как Ньютон решил дифференциальные уравнения для задачи о двух телах (что объясняет, почему планеты движутся по эллиптическим орбитам вокруг Солнца), он обратил внимание на задачу о трех телах для Солнца, Земли и Луны. Ни он, ни другие ученые так и не смогли ее решить. Позже выяснилось, что задача о трех телах содержит семена хаоса76, то есть в долгосрочной перспективе их поведение непредсказуемо.
Ньютон ничего не знал о динамике хаоса, но, по словам его друга Эдмунда Галлея[29], пожаловался, что задача о трех телах «вызывает головную боль77 и так часто не дает ему спать, что он больше не будет об этом думать».
Здесь я с вами, сэр Исаак.
21. Выйди на свет[30]
Господин Дикурцио был моим наставником в средней школе — хмурый и требовательный, склонный к сарказму человек, носивший скучного вида очки в черной оправе. Словом, симпатяга. Но я заметил его безумную страсть к физике.
Однажды я рассказал ему, что прочитал биографию Эйнштейна. В ней говорилось, что во время учебы в колледже Эйнштейн был сильно поражен чем-то под названием «уравнения Максвелла для электричества и магнетизма»; и я заявил, что не могу ждать, пока начну достаточно разбираться в математике, чтобы узнать, что они собой представляют.
Это произошло во время ужина в школе-интернате. За большим столом сидели еще несколько студентов, жена учителя и две его дочери; господин Дикурцио раскладывал картофельное пюре по тарелкам. При упоминании об уравнениях Максвелла он бросил ложку, схватил бумажную салфетку и начал писать на ней загадочные символы, точки и кресты, перевернутые треугольники, E и В со стрелками над ними, и вдруг, как мне показалось, он заговорил на нечеловеческом языке: «Ротор ротора — это градиент дивергенции минус квадрат дельты...»