Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Коллектив авторов

РИС. 2

Возможное положение равновесия мембраны через некоторое время.

Другими словами, функция, которую мы ищем, должна давать — в сравнении со всеми возможными функциями, определяющими то же самое граничное условие, — наименьшее возможное значение для энергии. На физических основаниях оказывается возможным, что при любой заданной замкнутой кривой в пространстве существует поверхность с наименьшей энергией, которая

ее заполняет, поскольку любая поверхность или мембрана будет стремиться принять конфигурацию, требующую наименьшей энергии.

Так как интегрируемое J(u) всегда положительно (является суммой квадратов), интеграл J(u) всегда больше или равен нулю. Поэтому Дирихле показалось рациональным, что должна существовать функция u, которая имела бы наименьшее значение. Заметьте, что если бы не было этой нижней границы, предполагающей нуль, могло бы оказаться так, что получаемые значения с каждым разом становились бы все меньше (0, -1, -2, -3...), причем это необязательно должно быть наименьшее значение. Предполагая существование этой минимизирующей функции u из J(u)> Дирихле доказал, что функция u гармоническая и, следовательно, удовлетворяет исходной проблеме, которую нужно решить.

Но оставалось неясно, действительно ли существует этот минимум, эта функция u, в которой интеграл Дирихле достигал бы своего наименьшего значения. Стоит подумать, например, о множестве всех действительных положительных чисел: они все больше или равны нулю, но нет ни одного, которое было бы наименьшим (для любого выбранного нами числа всегда будет меньшее число). Нижней границы множества (нуля) невозможно достичь в рамках самого множества (положительных чисел), так что нет и минимума. Усилия Вейерштрасса и его математической школы, направленные на строгое обоснование существования u, разбились об этот вопрос. Однако физики продолжали считать, что так называемый принцип Дирихле гарантирует решение проблемы Дирихле.

И лишь Гильберту — около 1904 года — удалось возродить принцип и доказать несомненное существование минимума. Но чтобы объяснить его доказательство, мы должны погрузиться в пограничную область вариационного исчисления, которое стремится определить, какие функции делают интеграл наименьшим.

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Проблема брахистохроны, или кривой с самым быстрым спуском, исторически была первой проблемой в развитии вариационного исчисления. Среди всех кривых, соединяющих две точки, нужно найти ту, вдоль которой частица, двигаясь под действием силы тяжести, падает за меньшее время. При рассмотрении всех возможных кривых, соединяющих точку А с точкой В_у ищется минимизирующая время падения, что может быть выражено в виде интеграла. То есть ведется поиск кривой или функции, которая делает наименьшим значение этого интеграла. Данная проблема была предложена в 1696 году Иоганном Бернулли (1667-1748) и была решена независимо Ньютоном, Лейбницем, Иоганном и Якобом Бернулли. Решением оказалась не прямая линия и не дуга окружности, а дуга кривой под названием циклоида (см. рисунок 3).

Базовые понятия новой ветви анализа принадлежат Эйлеру и Лагранжу. Первый ввел название вариационное исчисление, а второй создал «метод вариации», который позволяет решить многие проблемы в рамках этой дисциплины. Основа вариационных проблем следующая: предполагается множество С любых элементов (чисел, геометрических точек, функций и так далее), которые обозначаются как м, и каждому элементу и назначается число F(u). Если С — это числовое множество, то F(u) — это функция от одной переменной; если С — это множество точек на плоскости, то F(u) — это функция от двух переменных, и так далее. Но если С — это множество функций, то F(u) — это то, что называется функционалоМу который в одной из различных функций, входящих в состав множества, может принимать значение экстремума (максимума или минимума).

Чтобы решить проблему вариационного исчисления, сравнивали пробную функцию и со всеми ближайшими функциями, то есть с теми, которые получаются при легком варьировании пробной функции и (отсюда название «вариационное исчисление»), и вычисляли функционал F для каждой функции. Для функции, являющейся решением, характерно, что функционал для всех ближайших функций всегда больше (если мы ищем минимум). В этом суть «метода вариации». Эйлер и Лагранж обнаружили: для того чтобы функция

и множества С предоставляла экстремальное значение (максимум или минимум) функционалу, F("u) должно удовлетворять некоторому дифференциальному уравнению (уравнениям Эйлера — Лагранжа). Однако удовлетворение данному уравнению — необходимое, но недостаточное условие.

РИС. 3:

Дуга циклоиды между А и В.

РИС. 4:

Какую из трех возможных траекторий выберет частица, чтобы из А попасть в В? Принцип наименьшего действия устанавливает, что это траектория, минимизирующая величину под названием действие.

Мерой успеха этой плеяды идей является то, что многие математики XVIII и XIX веков стремились истолковать появлявшиеся в физике дифференциальные уравнения как экстремальные условия определенных функционалов. Законы физики можно было переписать в терминах принципов минимума, поскольку природа всегда стремится к оптимизации. Эту же цель преследовали Пьер Луи де Мопертюи (1698-1859) в механике по принципу наименьшего действия (см. рисунок 4), а также Пьер де Ферма (1601-1665) в оптике: траектория, которой следует луч света, проходя из точки А в другую точку В другой среды, — это траектория, требующая наименьшего времени. Физические трактаты конца XIX века были полны подобных принципов, утверждающих, что определенные физические процессы всегда протекают так, чтобы минимизировалось некое количество. Это были так называемые вариационные принципы.

Данная уважаемая область анализа была видом продолжения анализа бесконечно малых. Если традиционный анализ показывал, как найти максимумы или минимумы функции, вариационное исчисление демонстрировало, как определить функцию, максимизирующую или минимизирующую определенный функционал, который обычно выражен в виде интеграла. Однако эта проблема оказалась намного сложнее, и в конце XIX века еще нельзя было определить ряд критериев, гарантировавших существование экстремума (максимума или минимума). Таким образом, неудивительно, что вариационное исчисление касается 3 из 23 проблем Гильберта.

В то время как в проблеме 23 Гильберт задался вопросом о возможном обобщении вариационных методов, в проблемах 19 и 20 он озаботился свойствами и существованием решений проблем вариационного исчисления. Два вопроса оставались открытыми. Первый — существование или отсутствие решения (проблема 20), и второй — свойства, которым в случае своего существования это решение удовлетворяет. Если отбросить техническую оболочку, в проблеме 19 Гильберт спрашивал, должны ли физические проблемы, которые обычно позиционируются как проблемы вариационного исчисления (проблема Дирихле, например), всегда иметь решения с наилучшим поведением: всегда ли решения такие же плавные и регулярные, как аналитические функции (которые можно продифференцировать бесконечное число раз)? Эта проблема была решена в 1904 году российским математиком Сергеем Бернштейном (1880-1968) в его докторской диссертации (одним из руководителей которой был Гильберт). Бернштейн доказал, что решения уравнений в частных, интересовавших Гильберта производных (включая решения уравнения потенциала Лапласа), были, в случае их существования, регулярными, с идеальным поведением, если они удовлетворяли некоторым довольно простым условиям об их трех первых производных. Становилось очевидным, что, например, если интеграл Дирихле достигал своего минимума, то происходило это обязательно в допустимой функции.

Но в том же 1904 году Гильберт удивил математический мир, восстановив доверие к принципу Дирихле, которое тот утратил после критики Вейерштрасса. До Вейерштрасса предполагалось, что в вариационном исчислении у любого функционала есть минимум. Гильберт доказал, что в конкретном случае энергии ДирихлеJ(u) действительно есть минимум. Он построил минимизирующую последовательность функций, значения которой для интеграла были каждый раз все более низкими и сходились к наименьшему значению. И на ее основе он получил минимум, то есть функцию и_у которая де факто достигала этого наименьшего значения. Физики и математики могли вздохнуть с облегчением.