Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Коллектив авторов

В 1900 году шведский математик Ивар Фредгольм (1866- 1927) позаимствовал внешне безобидное замечание итальянского математика Вито Вольтерры (1860-1940) и предложил новый способ решения проблемы Дирихле с использованием интегральных уравнений. Изучив уравнения потенциала, или уравнения Лапласа с граничными условиями, Фредгольм трансформировал проблему в интегральное уравнение, как приведенное выше, и воспользовался схожестью этого интегрального уравнения и системы бесконечных линейных уравнений, когда интеграл заменяется суммами Римана. Интеграл — это процесс вычисления площади, ограниченной кривой. Сумма Римана — по сути, всего лишь равносильный способ вычисления значения интеграла: проводится конечное число прямоугольников внутри площади, ограниченной кривой, и эта площадь приближается к сумме площадей каждого из этих прямоугольников (см. рисунок). Когда число прямоугольников стремится

к бесконечности, суммы Римана сходятся в точном значении интеграла. В этой технике интегральное уравнение разрастается в систему бесконечных линейных уравнений. Следовательно, решить отправное интегральное уравнение — значит решить всю систему бесконечных линейных уравнений.

Сумма Римана — это сумма площадей прямоугольников на рисунке, которая служит для приближения к площади, ограниченной кривой, то есть к интегралу функции f(x) от a до b.

Сенсационные результаты Фредгольма распространились со скоростью звука. Зимой 1900-1901 года гостивший в Гёттингене преподаватель провел аналогию между интегральными уравнениями и системами линейных уравнений на семинаре Гильберта, и тот живо заинтересовался данной темой и направил на нее всю свою производительность (в пылу он даже предсказал, что новый инструмент позволит в итоге доказать гипотезу Римана). Шесть работ на эту тему, опубликованные им между 1904 и 1910 годами, содержали зачатки нового ответвления анализа (функциональный анализ) и привели к понятию гильбертова пространства, основанию всей квантовой механики.

И СВЕРШИЛСЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ!

Функциональный анализ изучает функции в совокупности, то есть пространства функций. Наиболее явные его истоки находятся в интегральных уравнениях, которые определяют алгебраизацию анализа (типичный подход функционального анализа), но также присутствуют в вариационном исчислении, где впервые появляются идеи множества функций, допустимых для решения проблемы и расстояния между функциями (через функционал). Математический аппарат, утвердившийся с функциональным анализом, в конце 1920-х годов обратился в столп целой физической дисциплины — квантовой механики. Благодаря этому ключевому факту его мощные формулировки, связанные с распространением квантовых выкладок, постоянно обновлялись.

Функциональный анализ обобщает геометрические понятия w-мерного пространства (расстояние, теорема Пифагора и другие) до функциональных пространств бесконечной размерности. Среди этих пространств бесконечной размерности выделяется так называемое гильбертово пространство, построенное в области интегральных уравнений самим Гильбертом, но аксиоматизированное в связи с квантовой механикой его талантливым учеником Джоном фон Нейманом, который назвал пространство именем своего учителя около 1930 года.

Гильбертово пространство в зачаточном виде появляется в статье 1906 года (четвертой из шести статей об интегральных уравнениях и первой настоящей статье о функциональном анализе). Можно сказать, что гильбертово пространство образуют функции, являющиеся решением интегральных уравнений. Когда Гильберт изучал интегральное уравнение, ему в голову пришла идея рассмотреть особую систему функций, которая выполняла бы некоторые свойства (для тригонометрической системы — быть базисом функционального пространства) и свести решение уравнения к определению коэффициентов неизвестной функции относительно этой системы (точнее, координат неизвестной функции относительно этого базиса пространства). Рассматривая тригонометрическую систему, он старался найти неизвестную функцию, представив ее с помощью коэффициентов Фурье (бесконечной последовательности чисел, позволяющих выражать функцию интегрируемого квадрата в виде суммы тригонометрических функций, умноженных на эти числа). Коэффициенты, как он заметил, удовлетворяли условию конечности суммы их квадратов. После подстановки этих отождествлений (или разработок) в интегральное уравнение проблема преобразилась в проблему решения бесконечного числа линейных уравнений с бесконечными неизвестными (коэффициентами функций из суммируемого квадрата). Продолжая данный пример, если в уравнении

_b

x(t) + K(t,s)x(s)ds = f(t),

^a

представить функции x(t), f(t) и K(t, s) их коэффициентами Фурье, то это уравнение

записывается как бесконечная система уравнений:

xp + kpqxq = fp p = 1, 2, 3...

^g=1

при условии, что сумма различных коэффициентов в квадрате конечна, то есть

x2p < .

^p=1

Таким образом, при переходе из царства непрерывного в царство дискретного интеграл преобразуется в сумму (аналогичную операцию).

Пространство всех последовательностей действительных чисел суммируемого квадрата (сегодня обозначаемое l₂), где нужно искать решение, — это и есть гильбертово пространство. В этом пространстве числовых последовательностей, по аналогии с обычным евклидовым пространством, Гильберт определил расстояние и распространил на него классические понятия предела, непрерывности и так далее. Как Гильберт, так и его лучшие ученики (в особенности Эрхард Шмидт) досконально исследовали это геометрическое сходство функционального пространства l₂ с обычным геометрическим пространством R". Вся теория о гильбертовых пространствах способствовала выходу на сцену первого известного пространства с бесконечным числом измерений в его каноническом представлении об l₂.

Эти годы были решающими, прежде чем появилась возможность общего анализа пространств функций. В 1906 году увидела свет докторская диссертация Мориса Фреше (1878— 1973), которая имела огромное влияние, поскольку в ней в абстрактном виде было введено понятие расстояния во множестве функций, а также остальные связанные геометрические понятия.

Через некоторое время, в 1907 году, два молодых математика — бывший ученик Минковского Эрнст Фишер (1875-1954) и Фридьеш Рис (1880-1956), в ту пору учитель средней школы из венгерского городка, — независимо друг от друга открыли неожиданную связь между расцветающим функциональным анализом и другим великим математическим открытием того времени — теорией интегрирования Анри Лебега (1875-1941), которая была призвана залатать прорехи классических теорий интегрирования Коши и Римана. Теорема Фишера — Риса гласит, что существует соответствие, или изоморфизм, между пространством Гильберта l₂ и пространством функций интегрируемого квадрата (которое сегодня мы называем L₂). В одночасье родилась вторая модель гильбертова пространства. Эти работы позволили ввести новые функциональные пространства, такие как обобщение уже известных: пространств l_р и L_p при р > 1 (например, если р = 3, пространство последовательностей/функций суммируемого/интегрируемого куба, и так далее).

Групповой портрет. Слева направо: Альфред Хаар, сын Гильберта Франц, его неразлучный друг Герман Минковский, неизвестная женщина, Кёте Г ильберт, Давид Гильберт и Эрнст Хеллингер.

Эйнштейн в гостях у Лоренца в Лондоне в 1921 году. Для установления теории относительности немецкий физик воспользовался работой Лоренца и Пуанкаре, а также математической помощью Г ильберта.

Джон фон Нейман, ученик Гильберта, который дал имя своего учителя гильбертову пространству.

Официально функциональный анализ был введен в 1922 году, когда вышла из печати книга «Лекции по функциональному анализу» Поля Леви (1886-1971). В том же году была опубликована докторская диссертация поляка Стефана Банаха (1892-1945), в которой тот стремился доказать ряд теорем, справедливых для различных функциональных пространств, не останавливаясь на конкретной природе этих пространств (на конкретных функциях, которые входят в их состав).