Волшебный двурог
Шрифт:
Затем человечек Знаменатель разорвал свою дробь надвое:
S = a1 [qn / (q — 1) — 1 / (q — 1)]
а потом открыл скобки:
S = a1qn / (q — 1) — a1 / (q — 1)
А
На лице его было написано полное удовлетворение всем происшедшим.
Рыжая дама сжала свои костлявые пальчики и смиренно посмотрела вверх. Илюша тоже машинально поглядел вверх и вдруг увидел, что на маленьком парашютике спускается крохотный, с кулачок, плюшевый Мишка.
Мишка спустился, встал на задние лапки и сказал Илюше, что его зовут Эн.
— Значит, ты число членов прогрессии?
— Угадал! — пискнул Мишка.
Вслед за этим началось акробатическое представление. Рыжая дама, стараясь не глядеть на Илюшу, стала слева. За ней в воздухе повис знак равенства. Затем Знаменатель повесил в воздухе две большие дробные черты, между ними приладил длинный тонкий минус. При этом он вдруг три раза щелкнул пальцами и превратился из одного человечка Знаменателя в троих, совершенно одинаковых. Один из них забрался на первую из двух дробных черт, рядом с первым членом прогрессии.
Плюшевый Мишка вдруг страшно оживился, прыгнул, точно кузнечик, и прямо
— 197 —
с пола перелетел ему на тулью цилиндра. Получилась снова уже известная Илюше формула:
S = a1qn / (q — 1) — a1 / (q — 1)
Буква n, которую Мишка столкнул своей плюшевой лапкой с цилиндра человечка Знаменателя, кое-как приподнялась с пола и жалобно пропищала:
— Я буду больше единицы!
В ответ на это плюшевый Мишка, очень удобно примостившийся на краю цилиндра Знаменателя, начал пыхтеть и понемножку толстеть, а дама начала понемногу расти вверх.
Илюша подумал: «Эн увеличивается, и сумма растет. Ну да, так и должно быть, конечно! Чем больше будет число членов, тем и сумма будет больше. Ясно!»
А Мишка посмеивался и все толстел. Дама тоже все тянулась вверх. Мишка уже стал ростом с кошку, а дама выросла примерно вдвое. Самое странное при этом было то, что она не толстела, а только тянулась вверх и становилась все более тощей. Мишка вырос до размеров целого теленка, так что оставалось только удивляться,
Вдруг дама взвизгнула, ее головка дернулась вниз и вбок, вся она свернулась восьмеркой и упала на бок. А громадная задняя лапа Мишки тоже как-то завинтилась, вроде лежащей на боку восьмерки.
Илюша посмотрел на это и обернулся к Радиксу за помощью.
— Эта упавшая на бок восьмерка, — пояснил тот, — есть знак бесконечности. Если число членов растет безгранично, то
— 198 —
и сумма прогрессии растет так же безгранично. В таком случае говорят, что и число членов и сумма прогрессии являются бесконечно большими величинами.
Илюша глянул искоса на Радикса и спросил:
— Так это, значит, и будет бесконечность?
— Н-да… — отозвался Радикс таким недовольным голосом, будто из него кто-то силком вытянул это «н-да»…
Он, видимо, был сильно не в духе.
— Послушай, — сказал Илюша как только умел любезно, — мне ужасно неприятно, что ты так на меня сердишься, но я, честное слово, не хотел тебя сердить. Честное слово! И я буду очень стараться. Только уж ты, пожалуйста, расскажи. Значит, эта штука будет гораздо больше даже того поразительного архимедова числа, в котором восемьдесят квадриллионов нулей? Что же это за число такое?
Выслушав это, Радикс Нахмурился еще пуще. Видно было, что бедный Илюша, сам того не желая, задел беднягу за живое.
— Начнем с того, — заявил Радикс, — что это вовсе не число! Древний грек, замечательный философ древности Аристотель, который жил в четвертом веке до нашей эры, так говорил о бесконечности. «Она, — говорил Аристотель, — существует только в возможности». Он говорил еще, что это не такая величина, дальше которой ничего нет, а такая, дальше которой всегда есть еще что-то. Как это понимать? А вот как.
Когда мы говорим, что какая-нибудь величина является бесконечно большой, то, значит, мы говорим о величине, во-первых, переменной, а во-вторых, неограниченно возрастающей, вот как наш плюшевый Мишка или Сумма в то время, когда они растут и растут. Какие бы ты ни ставил вехи на пути такой переменной величины, она вce равно уйдет дальше их. Если ты перенесешь эти вехи затем еще дальше, она и за те уйдет, и так всегда будет, как бы ты далеко ни забирался.
Илюша посмотрел на формулу:
— Значит, когда ты говоришь, что наша сумма бесконечно большая, то нельзя понимать, что она стала «бесконечностью», а это только значит что она становится все больше и больше?
— Да. И это потому, что Мишка наш растет. Попробуй-ка назначь какую-нибудь границу для суммы, назови какое-нибудь число, самое большое, какое тебе придет в голову.
— 199 —
— Ну, например, децильон. Это, помнится, десять в тридцать третьей степени, — подсчитал Илюша.
— Это очень просто, — ответил Мишка. — Ты требуешь, чтобы сумма
S = 3 · (2n — 1) / (2 — 1) = 3 · (2n — 1)