Волшебный двурог
Шрифт:
— 291 —
Через всякие две точки М и N можно провести одну, и только одну, «прямую».
Две «прямые» могут пересекаться только в одной точке.
то хотя на глаз на малом участке будет казаться, что все обстоит так же, как обычно, но на самом деле именно здесь-то и обнаружится,
— Как же это так получается? — спросил удивленный Илюша.
— Посмотри внимательно на чертеж! Вспомни, что мы с тобой условились рассматривать только часть площади по одну сторону от линии центров, которую мы к нашему пространству не причисляем, считая ее геометрическим местом «бесконечно удаленных» точек нашей геометрии. Если дана «прямая» АВ, то есть полуокружность с центром в точке С «бесконечно удаленной» линии, и точка М, не лежащая на АВ (скажем для определенности, расположенная на большем расстоянии от С), то получится вот что: кроме полуокружности радиусом СМ, можно провести через точку М любое количество «прямых», не пересекающихся с «прямой» АВ, слегка смещая центр из точки Спо горизонтали и соответственно изменяя радиус.
— Хорошо, — сказал Илюша, — это я теперь понимаю. А какие же «прямые», проходящие через точку М, будут параллельными по геометрии Лобачевского к «прямой» АВ?
— Припомни, что параллельные отделяют непересекающиеся, то есть «расходящиеся» с данной, «прямые» от пересекающих ее. Такими, очевидно, и будут «прямые», изображаемые теми двумя полуокружностями, которые встречают данную полуокружность именно на «бесконечно удаленной» прямой.
То есть это будут те именно полуокружности, которые касаются данной полуокружности слева и справа на линии центров, образуя с ней в точках касания нулевые углы. Если ты построишь два перпендикуляра к какой-нибудь «прямой» АС, то легко убедишься, что они будут «расходящимися».
— 292 —
Прямоугольный треугольник ABC.
— Так, — сказал Илюша. — Действительно не очень-то все это просто! А как же насчет суммы углов треугольника?
— Возьми чертеж, на котором две полуокружности равных радиусов почти касаются друг друга. Угол, образуемый ими в их невысоко расположенной точке пересечения, будет невелик, хотя и больше нуля. В остальных же двух точках пересечения, образованных третьей полуокружностью, получаются углы, близкие к шестидесяти градусам. Таким образом, сумма углов будет немногим больше ста двадцати градусов вместо ста восьмидесяти градусов. На маленьком треугольнике этого нельзя заметить так отчетливо.
Через точку М проведено несколько «прямых», не пересекающих «прямую» АВ.
— 293 —
«Прямая» А'В'
— Потому что они похожи на евклидовы и в них сумма углов почти равна ста восьмидесяти градусам! — воскликнул Илюша. — Кажется, я начинаю наконец разбираться понемногу…
Тут Илюша снова откуда-то услыхал звуки флейты Фавна.
Обернувшись, он увидел, что его хитрая рожица выглядывает из-за уголка цветной занавеси домика. Он протягивал Илюше правую руку и манил его к себе левой.
Два перпендикуляра — АВи CD— к одной «прямой» «расходятся» — угол параллельности острый
— 294 —
— Ты только попробуй! — произнес Фавн шепотом. — Никогда никто не кушал ничего вкуснее!
— Может быть, это и стыдно, — сказал Илюша, отломив втихомолку добрый кусочек казанского сыра и делая вид, что он никакого Фавна и в глаза не видел, — но я должен сознаться, что я тоже до сих пор думал, что геометрия Евклида единственная.
— Стыдного тут ничего нет, — отвечал Асимптотос. — Ты просто не знал, вот и все. Но спорить с построенной системой — это уже совсем другое дело.
— Значит, я уже узнал здесь, кроме евклидовой, три новые геометрии: геометрию лабиринтов, потом геометрию Лобачевского и геометрию Птолемея…
Угол между двумя окружностями одного радиуса, из которых каждая проходит через центр другой, равен 60 градусам.
— То есть сферическую, — заметил Копикос. — Однако я могу тебе показать еще одну геометрию. Это будет геометрия теней. Ты увидишь сейчас удивительные тени. Слышал ли ты такой стишок:
Вот пройдут любые тени По стене, Странных очерки видений При огне…Неужели ты его не знаешь? Почитай, голубчик! Его написал прекрасный русский поэт Александр Блок. Это почти эти самые тени и есть.
— 295 —
В треугольнике ABC углы А и В близки к 60 градусам, а угол С очень мал, поэтому сумма углов этого треугольника немногим больше 120 градусов.